Linjär algebra: kardinalitet av vektorrum och dess dualrum

Utan att tänka så mycket skulle jag säga ja; men du behöver vara lite försiktigare med begreppet oändligt här. 

$\mathbb{R}^\infty$

och

$\mathbb{R}^{\mathbb R}$

har båda oändlig dimension men har olika oändliga dimensioner. 

Svaret är nej. dimV = dimV* om och endast om V har ändlig dimension, annars är dimV < dimV* - för bevis se Steven Roman, Advanced Linear Algebra (tredje utgåvan).

Sedan tror jag det ibland är så att dimV = dimV* om man anser att V* bara får innefatta linjära såväl som kontinuerliga funktionaler , men det kanske bara gällde för vissa Hilbertrum - känner att jag är ute på lite tunn is här.

Men gjorde jag rätt i att byta begrepp till kardinalitet istället för dimension när jag frågar om oändligtdimentionella vektorrum? Jag vill bara jämföra storlek liksom. Som seriouscephalopod påpekat här och i min andra tråd finns olika stora oändligheter. Blandar jag ihop begreppen här...?

Men okej! Trevligt! Är det beviset någorlunda inom räckhåll för mig?

$\mathrm{ℝ}$ och ${\mathrm{ℝ}}^2$ har samma kardinalitet men olika dimension.

Ah (just det! Hur kunde jag glömma?), då kanske jag menar dimensionens kardinalitet?

dimV är kardinaliteten hos en bas för V. 

Ja

Men vad är det jag inte förstår?

Okej, min ursprungliga fråga var om basens kardinalitet. Och ditt svar är att dimV < dimV*.

Så?

Bump

Och se här, jag hittade det i en svensk lärobok (snarare kompendium)

Om du har en bas e₁, ..., e_n för V och om $\alpha$ är en kovektor så har du

$\alpha$(x) = $\alpha \left(\sum _i^{}{x}_i{e}_i\right)$ = $\sum _i^{}{x}_i\alpha \left(e_i\right)=\left[\begin{array}{ccc}\alpha \left(e_1\right)& \dots & \alpha \left(e_n\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$ .

Således, om vi representerar vektorn x med en kolumnvektor med dess koordinater relativt basen så kan du representera $\alpha$ som en radvektor $\left[\begin{array}{ccc}\alpha \left(e_1\right)& \dots & \alpha (e_n\end{array})\right]$ så att $\alpha$ verkande på x ges som matrismultiplikation mellan radvektorn och kolumnvektorn. Radvektorn är inget annat än avbildningen $\alpha$:s matris relativt den införda basen.

Jag förstår, men vad för fråga har du besvarat här?

Varför man brukar tänka sig en kovektor som en radvektor.

Ja... Kovektor=vektor i dualrummet?

Har detta med 

https://math.berkeley.edu/~peyam/Math110Sp13/Handouts/Dot%20products.pdf

Och 

https://www.pluggakuten.se/trad/linjar-algebra-ar-skalarprodukten-den-enda-funktionen-som-kan-vara-en-inre-produkt-till-rn/

Att göra?

Det finns ett samband mellan inre produkt-rum och dualrummet. En inre produkt inducerar en identifiering mellan vektorer och kovektorer.

Dvs om du har en vektor a så kan du definiera en kovektor $\alpha$ enligt

$\alpha \left(\mathit{x}\right) = \mathit{a}\bullet \mathit{x}$.

På detta sätt kan man definiera en avbildning som till varje vektor associerar en kovektor. Avbildningen är linjär och injektiv. Så om vektorrummet är ändligdimensionellt så är denna avbildning en isomorfism. Man kallar det ibland för metrisk dualitet, och är kopplat till processen att höja eller sänka index vid tensorräkning. Kolla även upp Riesz representationsteorem som generaliserar detta till Hilbertrum.

Står tydligt här: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dual_basis

Under "existence and uniqueness".