Linjär algebra, kan 4 linjärt beroende vektorer span R4?
Uppgiften lyder:
True or false? If v1 , ... , v4 are in R4 and {v1 , v2 , v3} is linearly dependent, then {v1 , v2 , v3 , v4} is also linearly dependent.
Samtidigt som jag hittar en del online som påstår att 4 linjärt beroende vektorer inte kan span R4 , vilket jag till en början också antog, så verkar motsatsen också rimlig.
Om man har tre linjärt beroende vektorer bör väl minst två av de ligga på samma linje och därmed kan de väl som max span R2, att sedan lägga till en vektor på det gör väl att settet med 4 vektorer som max kan span R3?
Motargumentet är att c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 där c1,c2,c3 inte får vara noll allihop lyder av att settet med tre vektorer är linjärt beroende. När man sedan lägger till 0 * v4 stämmer fortfarande vilkoret för linjärt beroende och därmed är settet av de 4 vektorerna fortfarande linjärt beroende.
Vilket av de stämmer? Resonemanget för motargumentet verkar stämma men jag förstår inte hur det make sense inuitivt...
v1..v3 är lineärt beroende och kan därför inte spänna R3 Vilken vektor du än tar som v4 så kan därför uppsättningen v1……v4 inte spänna R4 varför denna uppsättning är lineärt beroende.
Tomten skrev:v1..v3 är lineärt beroende och kan därför inte spänna R3 Vilken vektor du än tar som v4 så kan därför uppsättningen v1……v4 inte spänna R4 varför denna uppsättning är lineärt beroende.
Så det är en motsägelse i själva frågeställningen att v1 , ... , v4 are in R4 och {v1 , v2 , v3 , v4} is also linearly dependent inte kan stämma båda två samtidigt?
Vektorer som tillhör R^4 kan inte spänna upp R^2 eller R^3, däremot kan de spänna upp 2/3-dimensionella underrum till R^4.
Du kan tänka det från ett bas-perspektiv. Men jag tänker såhär: om du har vektorn (1,0,0,0) och (2,0,0,0), hur kan de bli oberoende bara för att du lägger till en vektor?
Om vi löser motsvarande problem med en dimension mindre så blir den lösningen uppenbar.
Först har vi två vektorer som är linjärt beroende. Då kan de inte spänna upp hela R2 utan bara R1 (dvs de är parallella)
Då känns det nog självklart att en enda vektor till inte räcker för att spänna upp ytterligare två dimensioner, från en linje till ert tredimensionellt rum.
Ditt senare bevis som utnyttjar definitionen av linjärt oberoende är korrekt. Jag skulle hålla mig till det om detta var ett tentaproblem.
Det första argumentet är ju inte riktigt stringent utan baseras delvis på intuition - vilket man naturligtvis skall använda, men inte lita 100 på. Jag tror inte en rättare blir helt tillfredsställd om ens argumentation innehåller referenser till vad som känns självklart.
En mängd vektorer är linjärt beroende om någon vektor i mängden kan skrivas som en linjärkombination av andra vektorer i mängden. Eftersom vår första mängd är linjärt beroende så kan någon vektor i mängden skrivas som en linjärkombination av andra vektorer i mängden och detta faktum ändras ju inte av att vi utökar mängden med ytterligare en vektor.
