Linjär algebra: isomorfa vektorrum
Jag förstår inte, är V isomorft med k^n? Vad spelar det för roll vilken bas som V har? Vad är k för nåt?
k är nog talkroppen, tex . Du får naturligtvis olika isomorfier för olika baser.
Jaha själva isoforfin (bijektionen) ja, men bara påståendet "de är isomorfa" kan man påstå utan att veta basen
V och W är isomorfa om det finns någon isomorfi från V till W.
Kan man inte bara konstatera att två saker är isomorfa utan att specificera bijektionen? Alltså man vet att det finns en bijektion, men inte vad den är (eller bara inte intresserade av vad den är)
I den där bilden så skriver de inte ens en explicit funktion, då tycker jag att det är onödigt att säga att funktionen beror på basen.
När de skriver ett B bredvid isomorfitecknet så är det som om det är en egenskap hos "att de är isomorfa".
Men satsen går ju ut på att varje bas ger upphov till en isomorfi. Och de ger en explicit formel, även om det är lite förvirrande med i:et.
Jaha jag missade det helt (jag läste inte vidare när jag inte ens förstod satsen)... men jag förstår inte, de kunde bara skrivit L: V --->_B k^n. För att förtydliga att funktionen (isomorfismen) L beror på vilken bas man väljer.
Vad är ens meningen med satsen? Zorns lemma säger oss redan att varje varje vrum har en bas. Vill de säga att valet av bas påverkar isomorfismens explicit utskrivna form?
Säger satsen tex R2≅R⊕R? Eller allmänt Fn≅F⊕F⊕F...⊕F för alla kroppar F? Men vadå isomorfa, de är ju exakt samma saker. Menar de att generella vektorrum V är isomorfa med deras kropp^n med samma dimension n? Även det verkar självklart...
Jag har ingen aning om om jag pratar strunt här...
Jag vill även klaga på att de introducerar begreppet isomorfi dåligt för de säger inget om strukturbevarande. Det är självklart att strukturen bevaras om bijektionen är mellan objekt av samma typ (vektorrum), men de borde i alla fall säga nåt om generella isomorfismer.
Edit: herregud den här satsen är alldeles självklar, inte alls intressant. De skrev den inte bra, eller så läser jag dåligt.
De menar väl att varje isomorfi mellan kn och V är ekvivalent med ett val av bas för V. Vad som är självklart eller inte är väl helt subjektivt.
Så tycker du att det är självklart?
