Linjär algebra, inre produkt, linjär avbildning

Jag ska erkänna att jag är ute på djupt vatten, eller möjligen tunn is, men jag kan ju försöka agera gummianka åtminstone om det är till någon hjälp. Ta det med så många nypor salt som känns lagom.

Vad gäller din första fråga -- en inreprodukt struktur är ju bara en funktion som tar varje par av element och avbildar på ett reellt tal (precis som vilka vanliga skalärprodukter som helst), dvs två element ger ett reellt tal. Ditt rum V är sånt att du kan välja en uppsättning element (en ON bas) där alla element parvis har en noll inreprodukt, men för att göra det måste du välja en inreprodukt struktur. Har du olika inreproduktstrukturer att välja på så kan du välja olika ON baser, en eller flera för varje inreproduktstruktur. Om du valt en inreproduktstruktur och en ON bas och sen tittar på elementen i den basen i en annan inreprodukt struktur så kommer de i allmänhet inte att forma en bas där, utan mellan varje par av element har man en inre produkt som är något reellt värde. Du kan också undersöka element från två olika baser i godtycklig inreprodukt struktur, och du kommer att få, i allmänhet, något reelt tal för varje par av element du undersöker. Det de gör i första steget av lösningen är helt enkelt att konstatera att tar man element från en ON bas i någon inreprodukt struktur och undersöker deras inre produkt in en annan struktur så får man någon mängd rella tal. Sedan använder man dessa tal för att konstruera sin avbildning T från V till V.

Det knepiga är sen att de väljer att beskriva matrisen A med indices k och l, men sen räknar man inre produkten med summering över index j, vilket bara gäller det vänstra elementet -- och då man har att göra med y i "sin" bas (bas 2), så kommer bara summans index j med samma värde som högra elementets j (som inte ingår i summan - jag tycker det där är ett skrivfel -- en summa över k hade gjort allt mycket mer begripligt) att vara skild från noll. Tänk gärna på det som $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum a_{k,i}{y}_k}}$så inser man att det är bara k=j som överlever i basen definierad för inreprodukt struktur 2. Då kanske du är med på varför den är sann, och värdet av det är ju att detta är samma som den inre produkt man började med som kom från basen 1.

Jag hoppas att det åtminstone gör någon liten nytta.

PeBo skrev:

Om du valt en inreproduktstruktur och en ON bas och sen tittar på elementen i den basen i en annan inreprodukt struktur så kommer de i allmänhet inte att forma en bas där, utan mellan varje par av element har man en inre produkt som är något reellt värde.

Tack PeBo! Det klargjorde mycket men skapade också ett nytt frågetecken.

Så hur kan en då veta att hela V har undersökts i inreprodukten för t.ex  . Jag menar eftersom vektorerna i $\gamma$ är ju endast en ON-bas i andra inreprodukten?

Med risk för att jag inte förstår din fråga rätt: en bas har ju den egenskapen att den är komplett i meningen att varje element i V kan uttryckas som en linjärkombination av elementen i basen. Eller är det någon annan tanke du har? När du undrar hur man kan veta att hela V har undersökts så är ju svaret att  en ON bas per konstruktion är sådan att varje element (hela V) kan beskrivas i den basen, till och med i varje sådan bas.

PeBo skrev:

Med risk för att jag inte förstår din fråga rätt: en bas har ju den egenskapen att den är komplett i meningen att varje element i V kan uttryckas som en linjärkombination av elementen i basen. Eller är det någon annan tanke du har? När du undrar hur man kan veta att hela V har undersökts så är ju svaret att  en ON bas per konstruktion är sådan att varje element (hela V) kan beskrivas i den basen, till och med i varje sådan bas.

Sant. Bara för att se om jag fattat rätt i det du skrev i ditt första inlägg: med ON bas menas alltså när = 0 och   för alla i och j i V? Så om jag t.ex har en inre produkt som definieras  med vektorerna $\overrightarrow{x}$ och $\overrightarrow{y}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$. Här är alltså vektorerna $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$  och  $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$  inte ortogonala eftersom insättning av dessa i inreprodukten som jag definierade blir 1. Så hur vet man att vektorer som har inreprodukten 0 i min definierade inreprodukt är linjärt oberoende i vilken inreproduktstruktur med vektorer i  ${\mathrm{ℝ}}^2$ som helst? 

Det linjära (o)beroendet har ju inget med inreprodukt strukturen att göra. När du frågar "Så hur vet man att vektorer som har inre produkt 0 i min definierade inreproduktstruktur är linjärt oberoende i vilken inreproduktstruktur som helst" (fritt citerat). Den frågan tyder på att du tänker att det linjära oberoendet hos en mängd vektorer på något sätt påverkas av inreprodukt strukturen. Det gör det inte. Igen -- med reservation för att jag är kanske är ute å cyklar.

Ett par andra detaljer -- dina vektorer (1,1) och (-1,1) är ju inte normerade, de behöver en faktor $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{3}$}\right.$ för att få enhetslängd med din inre produkt. Du kan också konstruera en ortogonal vektor genom

$$\begin{gathered} v_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right] \\ {v}_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right] \\ {v_2}^{\text{'}=}{v}_2-<v_1,v_2>v_1 \end{gathered}$$

och då kommer $v_1$ och ${v_2}^{\text{'}}$ att vara ortogonala. Men jag tror att mycket av dina frågor kommer från att du fortfarande läser den där likheten som var del 2 av din fråga fel -- den är en summa över y som element i ON-basen 2, i vilka y är en ON mängd. Som jag sa -- indexet på den summan är olyckligt eftersom j är summeringsindex för den vänstra elementet i inre produkten, men även indexet på det andra elementet i inre produkten utan att summan går över den. Det är därför de får ut $a_{i,j}$från den.

Men det viktigaste är nog att linjärt oberoende inte behöver någon inreprodukt struktur, och inte påverkas av en eller flera sådana.

Einstein Euler skrev:

PeBo skrev:

Med risk för att jag inte förstår din fråga rätt: en bas har ju den egenskapen att den är komplett i meningen att varje element i V kan uttryckas som en linjärkombination av elementen i basen. Eller är det någon annan tanke du har? När du undrar hur man kan veta att hela V har undersökts så är ju svaret att  en ON bas per konstruktion är sådan att varje element (hela V) kan beskrivas i den basen, till och med i varje sådan bas.

Sant. Bara för att se om jag fattat rätt i det du skrev i ditt första inlägg: med ON bas menas alltså när = 0 och   för alla i och j i V? Så om jag t.ex har en inre produkt som definieras  med vektorerna $\overrightarrow{x}$ och $\overrightarrow{y}$ i ${\mathrm{ℝ}}^2$. Här är alltså vektorerna $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$  och  $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$  inte ortogonala eftersom insättning av dessa i inreprodukten som jag definierade blir 1. Så hur vet man att vektorer som har inreprodukten 0 i min definierade inreprodukt är linjärt oberoende i vilken inreproduktstruktur med vektorer i  ${\mathrm{ℝ}}^2$ som helst? 

Låt x_i (i = 1, ..., n) vara ON relativt <•,•>, dvs <x_i,x_j> = ${\delta }_{ij}$. Att vektorerna är linjärt oberoende betyder att om vi har skalärer ${\lambda }_i$ (i = 1, ..., n) sådana att

$\sum _i{\lambda }_i{x}_i$ = 0    (1), så måste vi ha att ${\lambda }_i$ = 0 (i = 1, ..., n). Notera att definitionen av linjärt oberoende inte refererar till någon inre produkt.

Antag att vi har funnit skalärer så att (1) är uppfyllt; vi visar att detta innebär att alla skalärerna måste vara noll. För varje j (j = 1, ..., n) så har vi

0 = <0,x_j> = <$\sum _i{\lambda }_i{x}_i$, x_j> = $\sum _i{\lambda }_i{\delta }_{ij}$ = ${\lambda }_j$, dvs ${\lambda }_j$ = 0 (j = 1, ..., n), och vektorerna är linjärt oberoende.