Linjär algebra - Inre direkt summa

Hej, håller på att försöka förstå mig på begreppet inre direkt summa och skulle vilja ha en sak bekräftat. Stämmer mitt följande resonemang?

Låt $L : V \to V$ vara en operator, där $V = ℂ {[x]}_{\leq 3}$ och $L (p (x)) = p' (x)$ där $p (x) \in V$ .

Välj basen $β = {1, x, x^{2}, x^{3}}$ , då fås $L (β (x)) = {0, 1, 2 x, 3 x^{2}}$ , vilket kan uttryckas som ${[L]}_{β} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ , ur detta följer det att $k e r (L) = S p a n {1}, i m (L) = S p a n {1, 2 x, 3 x^{2}}$ .

Det gäller alltså att $V \neq k e r (L) \oplus i m (L)$ , ty $k e r (L) \cap i m (L) \neq {0}$ , där $\oplus$ betecknar den inre direkta summan.

Ja det ser ut att stämma. V = U $\oplus$ W omm V = U + W och U $\cap$ W = {0}. Inget av detta är uppfyllt här.

PATENTERAMERA skrev:
Ja det ser ut att stämma. V = U $\oplus$ W omm V = U + W och U $\cap$ W = {0}. Inget av detta är uppfyllt här.

Gällande villkoret att $v = u + w$ , på ett unikt sätt där $u \in k e r (L)$ , $w \in i m (L)$ , $v \in V$ . Varför uppfylls inte det?

Alla polynom i V kan skrivas $p (x) = \sum_{i = 0}^{3} a_{i} x^{i}$ , $a_{i} \in ℂ$ , och på så sätt spänns de väl upp av baserna till kärnan och bilden?

Nja, hur får du tex x³ som en summa av vektorer i ker(L) och im(L)?

PATENTERAMERA skrev:
Nja, hur får du tex x³ som en summa av vektorer i ker(L) och im(L)?

Ah sant, vet inte varför jag antog att $x^{3}$ också ingick i basen för bilden, när jag själv skrivit att den inte gör det :P. Tack!

Svara

Visa senaste svar