Linjär algebra, injektiva linjära avbildningar sant eller falskt fråga.

Ditt resonemang håller också.

Eftersom matrismultiplikation är definierat från höger så att matrisen du ska multiplicera med X behöver lika många (eller fler) rader som A har kolumner. Om X är i R3 kan den skrivas som en matris 3x1. A behöver således vara 2x3.

Jag skulle säga att ditt resonemang inte visar att inga linjära avbildningar är injektiva, utan bara vissa sådana. Generellt så för att visa att något inte existerar så kan det ofta vara fruktbart att anta att något existerar och försöka härleda en motsägelse, som i facit.

Gustor skrev:

Jag skulle säga att ditt resonemang inte visar att inga linjära avbildningar är injektiva, utan bara vissa sådana. Generellt så för att visa att något inte existerar så kan det ofta vara fruktbart att anta att något existerar och försöka härleda en motsägelse, som i facit.

Hennes resonemang är ju att då vi går från högre till lägre dimension försvinner en bit information och när transformationen skett kan vi inte säkert veta var vi borde hamna om vi går tillbaka till R3. Det finns flera x för varje y, ty ej invektiv. Hur kan inte detta hålla?

Håller dock med om att det lättaste för att visa att något är falskt är att hitta en motsägelse.

MrPotatohead skrev:

Ditt resonemang håller också.

Eftersom matrismultiplikation är definierat från höger så att matrisen du ska multiplicera med X behöver lika många (eller fler) rader som A har kolumner. Om X är i R3 kan den skrivas som en matris 3x1. A behöver således vara 2x3.

Hej! Jag har försökt att svara i en timme men har ej kunnat för mitt wifi gav upp.

Tusen tack, då förstår jag varför A måste ha tre kolonner, för att X är en 3 x 1 vektor och matrismult. är definerat från höger. Men jag förstår fortfarande inte riktigt varför A måste ha två rader?

Det finns dock injektiva funktioner från R^3 till R^2, så man får vara lite försiktig med sina intuitioner. Det stämmer att projektioner aldrig är injektiva (utom identitetsprojektionen) , men det finns andra typer av linjära avbildningar. Det var det jag menade med att resonemanget visar att vissa, men inte alla, avbildningar inte är injektiva.

Tillägg: 31 okt 2024 14:33

Om $T\left(x\right)=Ax$ är en avbildning från ${\mathrm{ℝ}}^3$ till ${\mathrm{ℝ}}^2$, så är $x$ på formen $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$ och $Ax$ på formen $\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$. För att matrismultiplikation ska vara definierad måste då $A$ ha tre kolumner eftersom $x$ har tre rader, och $A$ måste ha två rader eftersom resultatet ska ha två rader.

Det finns dock injektiva funktioner från R^3 till R^2,

Inte linjära funktioner? Det är väl det som påståendet säger.

Jag tror jag kanske läser för mycket mellan raderna i Ellinors resonemang. Men eftersom man i alla linjära avbildningar från R3 till R2 tar tre datapunkter ner till två tänkte jag att denna egenskap uppenbart översätts till linjära avbildningar generellt och således håller argumentet. Rätta mig igen om jag har fel. 

Då förstår jag, matrismultiplikation defineras från höger, A måste ha tre kolonner eftersom X har tre rader, och A måste ha två rader eftersom resultatet Y har två rader. Stort tack. 

MrPotatohead skrev:

Det finns dock injektiva funktioner från R^3 till R^2,

Inte linjära funktioner? Det är väl det som påståendet säger.

Jag tror jag kanske läser för mycket mellan raderna i Ellinors resonemang. Men eftersom man i alla linjära avbildningar från R3 till R2 tar tre datapunkter ner till två tänkte jag att denna egenskap uppenbart översätts till linjära avbildningar generellt och således håller argumentet. Rätta mig igen om jag har fel. 

Det stämmer att det inte finns injektiva linjära avbildningar från R^3 till R^2. Det är ju dock det man ska visa, så man kan inte anta att det stämmer a priori. Att säga att en projektion inte är injektiv räcker inte för att säga att ingen linjär avbildning är injektiv.

Det finns exempel på injektiva funktioner som inte är linjära, så man måste på något sätt styrka varför linearitet medför icke injektivitet i det här fallet.

Alla funktioner från R^3 till R^2 tar element (x, y, z) till något (u, v). Problemet är att både R^3 och R^2 är ouppräkneligt oändliga, så att man "förlorar information" är potentiellt något missvisande, då rummen har samma kardinalitet.

Gustor skrev:

MrPotatohead skrev:

Visa föregående citat

Det finns dock injektiva funktioner från R^3 till R^2,

Inte linjära funktioner? Det är väl det som påståendet säger.

Jag tror jag kanske läser för mycket mellan raderna i Ellinors resonemang. Men eftersom man i alla linjära avbildningar från R3 till R2 tar tre datapunkter ner till två tänkte jag att denna egenskap uppenbart översätts till linjära avbildningar generellt och således håller argumentet. Rätta mig igen om jag har fel. 

Det stämmer att det inte finns injektiva linjära avbildningar från R^3 till R^2. Det är ju dock det man ska visa, så man kan inte anta att det stämmer a priori.

Det gjorde jag nog inte.

Att säga att en projektion inte är injektiv räcker inte för att säga att ingen linjär avbildning är injektiv.

Okej.

Det finns exempel på injektiva funktioner som inte är linjära, så man måste på något sätt styrka varför linearitet medför icke injektivitet i det här fallet.

Alla funktioner från R^3 till R^2 tar element (x, y, z) till något (u, v). Problemet är att både R^3 och R^2 är ouppräkneligt oändliga, så att man "förlorar information" är potentiellt något missvisande, då rummen har samma kardinalitet.

Hmm, nja, om man väljer att tolka det så strikt. En punkt i 3 dimensioner tycker jag kan beskrivas krävas mer information för att beskrivas än en punkt i 2 dimensioner. Kanske inte på ett informationsteoretiskt sätt dock (om det nu är grenen detta behandlas.).

Du återgav resonemanget som att när vi går från högre dimension till lägre så försvinner en bit information, vilket innebär att funktionen ej kan vara injektiv. Jag håller med om detta resonemang när man begränsar sig till projektioner. Då är det korrekt enligt min mening också.

Men när jag säger att det finns injektiva funktioner från ${\mathrm{ℝ}}^3$ till ${\mathrm{ℝ}}^2$, så menar jag att ett sådant argument inte håller för alla typer av funktioner. Det finns alltså funktioner som tar tre datapunkter ner till två, men som gör det på ett sätt som inte förlorar någon information, så att säga. Det faktum att dessa funktioner inte kan vara linjära, följer från att påståendet som man ska visa faktiskt är sant. Det är alltså inget vi kan anta a priori.

Jag menar att detta är en av de tillfällena i matematik där man bör vara lite försiktig. Lite som det något icke intuitiva faktum att mängden jämna tal har samma kardinalitet som mängden heltal, även fast den förra är en äkta delmängd av den andra. Mängderna ${\mathrm{ℝ}}^3$ och ${\mathrm{ℝ}}^2$ har samma kardinalitet, och det finns bijektioner mellan dem.

Okej, tack så mycket för förtydligandet🤪🙏