Linjär algebra: hom() samma som stjärna för beteckning av dualrum?

Bomp

Om någon flitig pluggakutare som faktiskt använder sökfunktionen senare undrar samma så se här

https://solitaryroad.com/c033.html

Men kan någon bekräfta att "form" alltså är en synonym till funktion avbildning osv? Det är första gången jag ser det på svenska

Beteckningen $\mathrm{Hom}_k(V,W)$ står för mängden av alla linjära avbildningar $V\to W$, där $V$ och $W$ är två vektorrum över kroppen $k$. Ett specialfall av detta är att $\mathrm{Hom}_k(V,k)$ mycket riktigt är mängden av alla linjär funktionaler $V\to k$ på $V$, och alltså är lika med dualrummet för $V$.

Begreppet "linjär form" är bara en synonym till "linjär funktional" (och ytterligare en synonym är "kovektor"), och är alltså en linjär avbildning där målmängden är den kropp man arbetar över.

Det stämmer att Hom betyder homomorfier, Hom(V,W) betyder (vektorrums)homomorfier mellan vektorrummet V och vektorrummet W. I specialfallet att W = k (det endimensionella vektorrummet över k som k själv är) så är det dualrummet till V. Man måste inte specificera kroppen V (och W) är vektorrum över eftersom det framgår implicit. Men första gången (som index) är det vilken kropp vektorrumen är vektorrum över, andra gången (i parentesen) är det som vektorrum (en kropp är ett en-dimensionellt vektorrum över sig själv).

Form är ett specialfall av avbildning, en avbildning från ett vektorrum till en kropp. Jag skulle nog säga att dualrummet är rummet av linjära funktionaler till kroppen. Här är funktional specialfallet av funktion till kroppen. Men form används även i andra sammanhang som bilinjära former (en funktion som tar två vektorer och ger ett värde i kroppen de är vektorrum över, och som är linjär i varje argument), t ex skalärprodukt. Se även n-former i integrationsteori.

Vadå "ko"-"vektor"?

Åh jag visste väl att jag kände igen det, det var från min tråd om tensorer.

Dioid: mmm ja, men... det råkar inte vara en isomorfism också?

"ko" i kovektor indikerar att vektorn ligger i ett dualrum, men det är en vektor på samma sätt som alla vektorer i vektorrum.