Linjär algebra - hjälp med att tolka fråga

Hej! Jag klurar på denna fråga:

och jag har koll på metoden jag ska tillämpa, och den börjar (vilket facit håller med om) att man beräknar F(1), F(x) och F(x²) men här stötte jag på ett problem.
Jag resonerade såhär:
F(1)=(x-1)*1*(x+1)=x²-1
F(x)=(x-1)*x*(x+1)=x³-x
F(x²)=(x-1)*x²*(x+1)=x⁴-x²

men facit är:
F(1) = (x-1)
F(x) = (x-1)(x+1)
F(x²)= (x-1)(x+1)²

Jag förstår alltså inte hur jag ska tolka F(p)=q, q(x)=(x-1)p(x+1) (inte ens sedan jag sett facit) så jag undrar om någon här kan förklara?

p(x) = 1 (OBS, identiskt 1, så p(x) = 1 för alla x)

q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = x - 1

p(x) = x [p(x + 1) = x + 1]

q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = (x - 1)*(x + 1) = x^2 - 1

p(x) = x^2 [p(x + 1) = (x + 1)^2]

q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = (x - 1)*(x + 1)^2 = ...

EDIT: lite bättre nu

Dr. G skrev:
p(x) = 1 (OBS, identiskt 1, så p(x) = 1 för alla x)
q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = x - 1
p(x) = x [p(x + 1) = x + 1]
q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = (x - 1)*(x + 1) = x^2 - 1
p(x) = x^2 [p(x + 1) = (x + 1)^2]
q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = (x - 1)*(x + 1)^2 = ...
EDIT: lite bättre nu

Sorry, jag förstår faktiskt ändå inte. Vad är p(x) och varför är det alltid vara 1? Är p=p(x)? För i så fall förstår jag inte rad två q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = x - 1 i ditt svar, om p(x)=p=1 så borde det bli (x-1)(x+1) (Så jag missförstår antagligen vad p(x) är...)

p(x) är ett polynom av grad ≤ 2.

Allmänt kan ett sådant polynom t.ex skrivas

p(x) = a + bx + cx^2

Detta kan ses som en vektor (a,b,c) i standardbasen.

Skriver mer efter lunch...

Istället för att avbilda basvektorerna 1, x och x^2 så hade jag istället avbildat det allmänna polynomet. Med

p(x) = a + bx + cx^2

så är

q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = (x - 1)*(a + b(x + 1) + c(x+ 1)^2)

Skriv nu detta på formen

q(x) = A + Bx + Cx^2 + Dx^3

Du kan få se det som att vektorn (a,b,c) avbildas på (A,B,C,D) och transformationens matris trillar ut.

Frågor på detta?

Dr. G skrev:
Istället för att avbilda basvektorerna 1, x och x^2 så hade jag istället avbildat det allmänna polynomet. Med
p(x) = a + bx + cx^2
så är
q(x) = (x - 1)*p(x + 1) = (x - 1)*(a + b(x + 1) + c(x+ 1)^2)
Skriv nu detta på formen
q(x) = A + Bx + Cx^2 + Dx^3
Du kan få se det som att vektorn (a,b,c) avbildas på (A,B,C,D) och transformationens matris trillar ut.
Frågor på detta?

Nu förstår jag!! Tack för hjälpen och tålamodet :)

Hej!

Jag tolkar beskrivningen av polynomet $q$ som att $q(x)$ är lika med $x-1$ gånger $p(x+1)$ där $p(x+1)$ är polynomet $p$ beräknat i punkten $x+1$ .

Med denna tolkning blir polynomet

$F(1)(x) =x-1$

och polynomet

$F(x)(x)=(x-1)\cdot(x+1)=x^2-1$

och polynomet

$F(x^2)(x)=(x-1)\cdot(x+1)^2=(x^2-1)(x+1)=x^3+x^2-x-1$ .

Svara

Visa senaste svar