Linjär Algebra hjälp (Matematik/Universitet)

Nilssonnn skrev: jag löste ut e1 eftersom längden skall vara 1. Men hur löser jag ut e2 och e3 ?

Tillägg: 6 dec 2021 18:33

I detta fall är e1 x e2 = e3. Eller e1xe3 = e2

Vad ska du ha? En ON-bas?

Börja med e₃. Vilka vektorer är vinkelräta mot (3,3,6)? :)

Smutstvätt skrev:
Börja med e₃. Vilka vektorer är vinkelräta mot (3,3,6)? :)

e1 ?

Tillägg: 6 dec 2021 18:35

Meningen är att jag skall bestämma den positivt orienterad ortonormerad bas

Tillägg: 6 dec 2021 18:36

För e1 , e2 , e3

Nja, två vektorer är vinkelräta om de uppfyller att $v_1\cdot v_2=0$ . Sätt den vektor som $e_3$ är ortogonal mot (3,3,6), som $v_1$ . Vilka $v_2$ fungerar? Vilka ger en positivt orienterad bas?

e1 ? Hänger inte riktigt med :(

Tillägg: 6 dec 2021 18:41

Jaha, tror jag fatta. e3 = (3.3.6) x (1.1.1)

och e2 = e3 x e1

stämmer det ?

Nej, inte riktigt. Du behöver börja med att hitta $e_3$ ‚ och det vi vet om den är att den är ortogonal mot vektorn $(3,3,6)$ . Med hjälp av en skalärprodukt kan du hitta dessa vektorer. Vilka vektorer uppfyller att $(3,3,6)\cdot v=0$ ? :)

e1 ? Hänger inte riktigt med :(

Tillägg: 6 dec 2021 18:43

(0.0.0)

Tillägg: 6 dec 2021 18:44

Är det (0.0.0) ?

Så e3 är 1/routern ur 6 multiplicerat med (1.1.2). (Förenklat)

Smutstvätt skrev:
Nej, inte riktigt. Du behöver börja med att hitta $e_3$ ‚ och det vi vet om den är att den är ortogonal mot vektorn $(3,3,6)$ . Med hjälp av en skalärprodukt kan du hitta dessa vektorer. Vilka vektorer uppfyller att $(3,3,6)\cdot v=0$ ? :)

(0.0.0) ?

Nilssonnn skrev:
Så e3 är 1/routern ur 6 multiplicerat med (1.1.2). (Förenklat)

Är den ortogonal mot e1?

Ingen aning, det nämns inte i uppgiften

@smuttatvätt kan det vara (-1.-1.1) ?

Nilssonnn skrev:
Ingen aning, det nämns inte i uppgiften

Jag menade att du skulle undersöka om så var fallet (antagligen med skalärprodukt).

Så hitills har jag kommit fram till att (3.3.6) · v1 = 0

vilket betyder att v1 = (-1.-1.2)

så e3 = (3.3.6) x (-1.-1.2)

och e2 = (e3 x e1)

stämmer det ??

Detta är en tråd som försvann i min inkorg. Ifall att någon fortfarande letar efter en lösning skriver jag ett svar nedan.

Precis som TS gjort, behöver vi skala ned vektorn $(1,1,1)$ så att dess längd är lika med ett:

$e_{1} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1)$

Vi vill nu hitta vektorn $e_3$ , som ska vara ortogonal mot $(3,3,6)$ . Eftersom vi söker en ON-bas måste vektorn även vara ortogonal mot $e_1$ . Vi kan därför kryssa dessa två vektorer om vi vill. Vi kan även använda oss av en skalärprodukt för att hitta en vektor som är vinkelrät mot $(3,3,6)$ . Då kan vi dock tvingas arbeta med $e_1$ efteråt, så att $e_3$ även är ortogonal mot $e_1$ . Vi kan göra detta genom använda oss av en skalärprodukt till, alternativt Gram-Schmidt-ortogonalisering.

Skalärprodukt:

Två vektorer $v_1$ och $v_2$ är ortogonala om $v_1\cdot v_2=0$ . I detta fall är den ena vektorn $(3,3,6)$ och den andra vektorn okänd, och vi kan skriva den som $(a,b,c)$ . Det ger oss ekvationen:

$(a, b, c) \cdot (3, 3, 6) = 0 3 a + 3 b + 6 c = 0 a + b + 2 c = 0$

För alla reella tal a, b och c som uppfyller likheten.

Nu vill vi gärna se till att $e_3$ också är ortogonal mot $e_1$ . För att slippa jobbiga siffror använder vi oss av den icke-normaliserade vektorn $(1,1,1)$ .

$(a, b, c) \cdot (1, 1, 1) = 0 a + b + c = 0$

Vi har nu ett ekvationssystem:

$\{\begin{cases} a + b + 2 c = 0 \\ a + b + c = 0 \end{cases}$

som visar att c måste vara noll, och $a=-b$ . Alla vektorer på formen $(1,-1,0)$ fungerar alltså.

Vi kan nu hitta $e_3$ genom att normalisera $(1,-1,0)$ , och får då att $e_{3} = (\pm ?) \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - 1, 0)$

Vilket tecken ska då $e_3$ ha för att vi ska få en positivt orienterad bas? Det spelar faktiskt ingen roll, eftersom vi inte bestämt $e_2$ ännu. Vi kan därför med gott samvete sätta $e_{3} = - \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - 1, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}} (- 1, 1, 0)$ och bestämma orienteringen med hjälp av $e_2$ .

Kryssprodukt

Vi kan även hitta en vektor som är ortogonal mot både $(3,3,6)$ och $(1,1,1)$ genom att ställa upp en kryssprodukt:

$(3, 3, 6) \times (1, 1, 1) = " |\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ 3 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}| " = (3 - 6, 6 - 3, 3 - 3) = (- 3, 3, 0)$

Normalisering ger oss nu att $e_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (- 1, 1, 0)$ .

Okej, vi har nu två vektorer som ingår i vår ON-bas. Nu vill vi bestämma $e_2$ så att vi får en ON-bas. $e_2$ måste vara ortogonal mot $e_1$ och $e_3$ , och det kan vi återigen göra genom en kryssprodukt eller två skalärprodukter, precis som ovan. Jag skulle välja en kryssprodukt (för enkelhetens skull räknar jag inte med de normaliserade vektorerna), och då får vi:

$(- 3, 3, 0) \times (1, 1, 1) = " |\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ - 3 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}| " = (3 - 0, 0 - (- 3), - 3 - 3) = (3, 3, - 6)$

Vilket ger oss att $e_{2}$ är $\frac{1}{\sqrt{6}} (1, 1, - 2)$ .

Nu är det endast en sak kvar att göra, och det är att bestämma tecknet hos $e_2$ , så att vi får en positivt orienterad bas. Algebraiskt kan vi göra detta med en determinant. Systemet är positivt orienterat om $\det (e_{1}, e_{2}, e_{3}) > 0$ . Vi kan beräkna determinanten $\det (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ , och om den är negativ byter vi tecken på $e_2$ och kontrollräknar.

$\det (e_{1}, e_{2}, e_{3}) = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot |\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}| = \frac{1}{\sqrt{36}} \cdot 6 = 1$

Vi betyder inte byta tecken, och vi har vårt svar:

$\{\begin{cases} e_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1) \\ e_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 1, - 2) \\ e_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (- 1, 1, 0) \end{cases}$