linjär algebra hitta värden på a och b i en matris

$\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 3\\ -3& 4& -2& 0\\ 2& 4& a& b\end{array}\right)$ för vilka värden a och b har systemet inga,en unik och oändligt många lösningar?

multiplicerar första raden med en halv

$\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 3\\ -3& 4& -2& 0\\ 2& 4& a& b\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{cccc}1& -1/2& 0& 3/2\\ -3& 4& -2& 0\\ 2& 4& a& b\end{array}\right)$

multiplicerar första raden med 3 och adderar till andra.

multiplicera första raden med (-2) och adderar till tredje

$\left(\begin{array}{cccc}1& -1/2& 0& 3/2\\ 0& 5/2& -2& 9/2\\ 0& 5& a& -3b\end{array}\right)$

multiplicerar andra raden med 2/5

$\left(\begin{array}{cccc}1& -1/2& 0& 3/2\\ 0& 1& -4/5& 9/5\\ 0& 5& a& -3b\end{array}\right)$

multiplicerar andra raden med (-5) och adderar till tredje

$\left(\begin{array}{cccc}1& -1/2& 0& 3/2\\ 0& 1& -4/5& 9/5\\ 0& 0& a+4& -3b-9\end{array}\right)$

så jag tänker nu att systemet har ingen lösning om a = -4 och b != -3

detta för att sista raden blir då 0 = -3b-9 vilket är en motsägelse för högerledet är inte lika med noll

en unik lösning om a != -4 och b är ett reellt tal

oändligt med lösningar om b = -3 och a = -4

VL = HL och det är båda noll 

men detta blir fel enligt facit

enligt facit så har systemet inga lösningar om a a = -4 och b != 12

oändligt många om b = 12

så vart har jag gått fel :O