Linjär algebra: gram schmidts ortoprocess, förstår inte
Om ortogonaliseringsprocessen vore en funktion från Rn×Rn...×Rn -> Rn×Rn...×Rn (n gånger blir det då), är den bijektiv? Alltså två olika baser kan aldrig ge samma ortogonaliserade bas? (Ingen normalisering)
Anledningen till att jag frågar detta är att den känns väldigt godtycklig, ungefär som: jag får en bas och slänger den i soptunnan och tar (0,...1, ... 0)! Är det något unikt kvar med denna bas efter att vi har utfört gram schmidt? Hur kan den först inte vara ortonormal, sedan bara bli det? Det är som att ta en vektor och säga att den är ful, så gör vi den fin, det är bra men vektorn är ju inte kvar längre.
Kan man göra gramschidt på vilket vektorrum som helst som har en inre produkt? Spännande!!!
Edit: är det viktiga att samma rum spänns upp före och efter ortogonaliseringen? Man har dock gjort ett basbyte så att alla vektorer uttrycks annorlunda?
(antag att vi har tillgång till en inre produkt)
Om basen spänner ett strikt underrum så kommer basen efter gram schmidt spänna samma underrum.
Om det är en komplett bas så ja, då kan du välja någon annan bekvämare bas (tex standardbasen) än den som gram schmidt ger. Som du skriver i editen är det viktiga att samma rum spänns upp, annars hade det inte varit någon mening med denna metod.
Det är som att ta en vektor och säga att den är ful, så gör vi den fin, det är bra men vektorn är ju inte kvar längre.
Det "intrikata" hos basen och inte de individuella vektorerna som är kvar före och efter processen är alltså rummet som basen spänner upp.
