Linjär algebra: fullständiga baser för oändligtdimensionella v-rum

Hej, se på dessa satser:

Jag har lite svårt att tolka satserna.

Den första ger ett nödvändigt och tillräckligt (ekvivalent) villkor för fullständighet på V?

Den andra satsen säger att givet en fullständig bas så kan varje vektor $u$ skrivas som en oändlig linjärkomb som konvergerar mot $u$ , men hur är detta annorlunda mot själva definitionen av fullständighet? Defintionen är:

Defintionen säger alltså att alla $u \in V$ kan approximeras godtyckligt väl. Jag gissar att sats 5.5 för det första specificerar vilka koefficienter $a_j$ som ger den bästa approximationen. För det andra nämner inte definitionen något om en limiting behaviour hos normskillnaden $\varepsilon$ och antalet termer $N$ , så $N$ kanske inte behöver gå mot oändligheten då $\varepsilon \rightarrow 0$ ?

Eftersom definitionen ska garantera fullständighet också i ett oändligdimensionellt rum måste alla termer vara med där. Det hindrar på intet sätt att det kan finnas vektorer i rummet, som det räcker med ändligt många termer. Ta bara en av basvektorerna fi₁ t ex. Då räcker det med en enda term. Definitionens uppgift är inte att optimera följden bara garantera den.

Okej men jag tycker inte att du har svarat på min fråga, vad är skillnaden mellan definitonen och satsen 5.5?

En viktig skillnad är att definitionen inte antar att vi har en inre produkt, utan det räcker att vi har en norm.

Vi kan också tänka oss ett icke-ON system även i ett rum med inre produkt.

Så lite förenklat så skulle vi kunna formulera det som "om du har den stora turen att du är i ett rum med inre produkt, och dessutom har den ännu större turen att ditt system är ON så gäller följande fantastiska egenskaper:". Som du säger låter dessa egenskaper oss konstruera koefficienterna. Jag är inte säker på vad du menar med att N inte måste gå mot oändligheten? Om vi ska få det mindre än godtyckligt epsilon utan att låta N öka så är enda möjligheten att vi har 0. Det kan givetvis hända (t.ex. om u=nollvektorn), men vanligen så finns ju ingen garanti för det. Om det alltid går med ändligt N så har vi ju att systemet i princip en bas (då varje vektor kan uttryckas som en ändlig lin.komb.).

Jaha! Just det, jag tänkte inte på att vektorrum kunde va fullständiga även även fast de inte hade en inre produkt, jag blev förlorad i sammanhanget.

Okej men i mer generella fall, finns ingen explicit formel för $a_j$ längre?

Jag tyckte bara det lät likt, hur de säger att något konvergerar mot något, alltså

"för godtyckligt liten avståndsskillnad $\varepsilon$ går det att addera en följd vektorer så att skillnaden är mindre än $\varepsilon$ "
"då $N$ går mot oändlighetengår skillnaden mot noll"

1) är ju själva definitionen av konvergens, 2) är påståendet att det konvergerar.

Japp. Ett lite roligt exempel är att titta på R som Q-vektorrum (dvs de reella talen är våra vektorer och de rationella våra skalärer). Vår norm är vanliga absolutbeloppet.

Då bildar vektorn 1 ett komplett system då vi kan approximera varje reellt tal (t.ex. pi) med q*1 där q är rationellt. Där får vi ju givetvis ändra koefficienten framför 1 om vi vill komma närmare pi. Om du har läst topologi så jämför gärna med täta mängder.

Hänger inte med. Det sägs väl inte någonstans i definitionen att det finns en sekvens ${\{a_{i}\}}_{i = 1}^{\infty}$ sådan att u = $\sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} φ_{i}$ . Hur kom du fram till den slutsatsen?
Det enda som sägs är väl egentligen att för varje $ε$ det går att hitta element i span( ${φ_{i} | i \in ℕ}$ ) som ligger i en $ε$ -omgivning till u.

Ja... Jag vet inte, det är jag som är förvirrad här haha. Är dock inte de två påståenderna du skriver ekvivalenta?

Du menar alltså att, för att komma närmare $u$ medan vi låter $\varepsilon \rightarrow 0$ räcker inte det att hitta en sekvens $\{a_j\}_{j=1}^N$ och låta $N$ i $\sum_{j=1}^N a_j \varphi_j$ bli större? Utan vi kanske blir tvungna att ändra tex den femte koefficienten beroende på vad $\varepsilon$ är? Det låter konstigt.

Tycker inte att det är självklart att de är ekvivalenta. Hur bevisar du att de är ekvivalenta?

Det är en mycket bra fråga... Det kanske är så att definitionen inte alls hintar om någon limiting behaviour.

Svara

Visa senaste svar