Linjär algebra, fråga a) lösningsmängd

Du har ju gjort exakt som facit förutom att du kanske använt en annan metod för att hitta en vektor som är vinkelrät mot två andra vektorer. Det är klart man får göra så.

Det jag kan invända är att du inte redovisar hur du hittade din normalvektor.

Ja men tog inte kryssprodukt utan löste bara ekvationssystemet? Är det samma sak? Dvs -4x+y+z=0 som ger normalvektorn (-4,1,1)

Lösningsmängden $W$ ges av ekvationssystemet

$\mathbf{x}=t\mathbf{u}+s\mathbf{v}$ för alla reella tal, $t,s\in \mathbb{R}$

Där $\mathbf{u}=(1,2,2)$ och $\mathbf{v}=(0,-2,2)$

Det visar sig att alla $\mathbf{x}$ tillsammans utgör ett oändligt plan.

För att beskriva planet på normalform behöver du hitta en vektor som är vinkelrät mot såväl $(1,2,2)$ som $(0,-2,2)$.

Det kan man göra på många olika sätt. T.ex. kan man som facit bilda kryssprodukten mellan vektorerna.

Du kan också bilda ekvationssystemet

$\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}=0$

$\mathbf{n}\cdot \mathbf{v}=0$

Vilket t.ex. har de oändligt många lösningarna $\mathbf{n}=c(-4,1,1)$, där $c$ är en reell konstant, $c\in\mathbb{R}$.

Väljer vi $c=-2$ får vi $\mathbf{n}\cdot (x,y,z)=(8,-2,-2)\cdot(x,y,z)=8x-2y-2z=0$ som ett exempel på planets ekvation.