Linjär algebra/fourieranalys: bas för L2
Hej, jag läste precis det här:
Och jag har två frågor: 1)
- varför har ingen sagt detta till mig?
- är polynomen också en bas för L2? Alltså B={1, x, x^2, x^3...}. Men B är inte ortogonal, men det är {zeta(n)} och det gör den extra användbar?
- n är ett heltal?
- finns någon annan bas som är ortogonal?
- Är L2 oändligdimensionellt om intervallet är en punkt? (Nej?)
- är linjär algebra och fourieranalys intrinsically intertwined eller är det är ”bara ett intressant perspektiv” som här där man valt att ha med i en bok som annars handlar om linjär algebra för att visa på dess användbarhet? Det finns massor av nybörjarintroduktioner till ämnet men de säger ju inget om linjär algebra (även om det i alla fall enligt mig är rimligt att anta den förkunskapen). De utgår snarare från något verklighetsförankrat med ljud och ljus och så. Jag kan tänka mig att man kan lära sig en hel del om fourieranalys även om man undviker att nämna (eller snarare beskriva i termer av begrepp från) linjär algebra, eller kan man det?
Fourieranalys bygger på oändligtdimensionella rum. Sådana studeras i funktionalanalys. Man kan nog säga att funktionalanalys är länken mellan algebra och analys.
Att approximera funktioner med en summa av ortogonala delar är oerhört användbart,t.ex. som du nämner vid studiet av ljud men också mer generellt vid lösning av partiella differentialekvationer. Lösningarna till sådana kan i princip aldrig skriva på sluten form, så approximationer är allt vi har att tillgå. Å andra sidan kan man ofta approximera godtyckligt noggrant. Nu är vi inne på numerisk analys. Om du fördjupar dig i det så kommer du att känna sig lika hemma i hilbertrum som i ditt eget sovrum. Du behöver inte läsa tillämpade kurser för det, men det kan ge lite verklighetsförankring.
Det finns hur många baser som helst i oändligtdimensionella rum (precis som i R²,R³,...) men de kan sällan uttryckas med våra "vanliga" funktioner. Bestäm dig för en norm så ser du att det finns hur många uppsättningar av ortogonala baser som helst.
Qetsiyah skrev:
- är polynomen också en bas för L2?Alltså B={1, x, x^2, x^3...}.
ja
- Men B är inte ortogonal, men det är {zeta(n)} och det gör den extra användbar?
Ja, och ja, pga möjlighet att göra projektion på underrum mha inre produkt.
- n är ett heltal?
Ja
-
finns någon annan bas som är ortogonal?
Ja, se https://sv.wikipedia.org/wiki/Ortogonala_polynom. De blir dock orto med hänsyn till andra inre produkter än den som visas i din bild!
-
Är L2 oändligdimensionellt om intervallet är en punkt? (Nej?)
Den är endimensioneell
-
är linjär algebra och fourieranalys intrinsically intertwined eller är det är ”bara ett intressant perspektiv” som här där man valt att ha med i en bok som annars handlar om linjär algebra för att visa på dess användbarhet? Det finns massor av nybörjarintroduktioner till ämnet men de säger ju inget om linjär algebra (även om det i alla fall enligt mig är rimligt att anta den förkunskapen). De utgår snarare från något verklighetsförankrat med ljud och ljus och så. Jag kan tänka mig att man kan lära sig en hel del om fourieranalys även om man undviker att nämna (eller snarare beskriva i termer av begrepp från) linjär algebra, eller kan man det?
Har fortfarande den känslan ja.
Notera att monomen du har inte bildar en bas, eftersom du bara kan få nya polynom med ändliga linjärkombinationer av polynom.
(Inte bekant med begreppen im about to use, Schauder/hamel och denseness, säg till isåfall)
Där håller jag inte med, det är en Schauder bas jag pratar om, självklart, inte Hamel. Om vi i det här sammanhanget endast tillåts använda ändliga basutvidgning kan väl ingen bas spänna upp nåt intressant, vanligt förekommande funktionsrum?
Däremot är det jag sa fel pga en annan anledning jag precis insåg. L2(a,b) är en väldigt bred klass av kvadratintegrerbara funktioner i vilken polynom kanske inte är dense?
Ja, det är en Schauderbas, men inte en "vanlig" bas. Hamelbas är väl bara för R över Q?
Om vi accepterar axiom of choice så har varje vektorrum en bas (dock inte ändlig/uppräknelig bas), så det finns en bas för L2 (men det betyder inte att den är lätt att hitta, utan det är bara existenssats).
Varje kontinuerlig funktion (på slutet intervall) kan approximeras bra med polynom, så den bör vara tät. Kolla Weierstrass approximationssats.
Men riamnnintegrerbarhet kräver endast kontinuitet nästan överallt, då tror jag inte att Weierstrass aprxsats passar.
Jag hittade det här: https://math.stackexchange.com/questions/548713/polynomials-are-dense-in-l2
Det där om Schauder och Hamel läste jag här:
Du borde kunna använda ett argument att polynom är tät i kontinuerliga, och kontinuerliga är tät i nästan kontinuerlig (fast jag har inte tänkt igenom det helt) och alltså är polynom tät i nästan kontinuerlig (eller i L2 för den delen).
Det är rätt sällan man skriver ut Hamel, så skriver man bas menar man alltså Hamelbaser, det stämmer används i andra situationer också.
