Linjär algebra förståelsen rent geometriskt
Hej,
Har snart tenta i linjär algera eller algebra och geometri som det så fint heter. Jag har dock ett enormt problem. Jag fastnar på frågorna om förståelse!
1. Vi börjar med en enkel:
Vi har basen b=(v1,v2,v3) som består av godtyckliga ortogonala enhetsvektor i R3, sådant att v3=v1 x v2.
Vi ska hitta b-mastris B till given linjär avbildning från R3 till R3. Samt tolka det geometriskt.
T(x)= v2 x \vec{x}.
Får fram matrisen
B=
[ 0 0 1 ]
[ 0 0 0 ]
[-1 0 0 ]
Nu till den geometriska tolkningen:
Enhetsvektorerna e1, e2 och e3, Vad händer med dessa egentligen? Jo e1 mappas till e3, samt att e3 byter tecken till negativt och mappas till e1, och e2 hamnar i origo. Alla vektorer med y-komposanter försvinner alltså.
För att förstå vad som händer med resterande, så låter jag pekfinrget vara y-axeln och, långfingret x-axeln och tummen z-axeln. Hur ska jag nu tänka för att förstå att det är en 90 graders rotation, och hur ska jag förstå ifall det är medurs eller moturs osv.. ?
Tack för hjälpen på förhand, hoppas någon kan ta mig igenom denna rätt pedagogiskt!
Du verkar ha blandat ihop det lite i den geometriska tolkningen. Det är v1 som mappas på -v3 samt att v3 mappas på v1. För att få ett högersystem ska pekfingret vara x-axeln och långfingret y-axeln (och tummen z-axeln).
Eftersom v2 mappas på nollvektorn kommer alla vektorer efter avbildningen att ligga i planet som spänns upp av v1 och v3. I v1-v3-planet ser avbildningen ut
Vilket ger rotation moturs, dvs 90 grader medurs (pga minustecknet), i planet sett från basen på v2.
1. Varför kunde du göra om R3 till r2 där? Är det för att v2 mappas på origo.
2. Kan du försöka förklara en gång till hur du vet om det är moturs eller medurs!
1. Jag tittar på restriktionen av avbildningen till planet som spänns upp av {v1, v3}, dvs vad avbildningen gör med en vektor som ligger i det planet. Den kommer att avbildas på en annan vektor i samma plan. Alltså kan jag ta fram avbildningens matris i basen {v1, v3} som blir den 2x2-matrisen. Jag tänkte att det kunde vara enklare att se om rotationen är medurs eller moturs genom att titta på den i ett 2-dimensionellt plan.
2. Jag jämförde med standardmatrisen för en rotation i planet där innebär rotation moturs och är rotation medurs.
Med risk för att förvirrra, om vi tittar på avbildningens matris i basen {v3,v1} istället blir matrisen
och rotationen är moturs. Basen {v3,v1} ger planet sett från spetsen på v2, dvs från andra hållet, därför blir rotationen moturs istället för medurs.
Jag fattade på dirren nu! Tack
