Linjär algebra: Fel(?) i gamla anteckningar

Hej! Jag går just nu igenom mina anteckningar från i höstas för linjär algebra (/ekvivalent kurs, kursen heter inte det på mitt universitet)

För dimensioner har jag antecknat $\text{dim(null}(A))=\text{#linjärt oberoende kolumner}$ för en matris $A$ . Jag har grubblat och vridit och vänt lite på detta och funderar på om det verkligen stämmer.

Jag är en person som föredrar att se på koncept geometriskt, åtminstone när man vill bryta ner saker till dess essens. Jag kom fram till följande exempel

(1 2 0

0 0 0

0 0 1)

Sett som bilder av basvektorer och standardbasen: Här avbildas x-axeln på sig själv, y-axeln på x-axeln medan z-axeln inte ändras. Alltså borde kolumnrummet ha dimension 2 (x-axeln + z-axeln) och nollrummet ha dimension 1 (linjen med riktiningsvektor -2,1,0).

Nu till det jag skrivit i mina anteckningar. Vi har två linjärt oberoende kolumner. Enligt mina anteckningar ska detta stämma överens med dimensionen av nollrummet.

Men antalet linjärt oberoende kolumner måste väl ändå vara analogt med dimensionen **kolumn**rummet, inte *noll**rummet? Kolumnrummets dimension är $\text{rank}(A)$ och det betyder ju i princip antalet linjärt oberoende kolumner.

Jag borde istället antecknat ”dim(null(A))=n-#linjärt oberoende kolumner”, eller hur?

Jag vill bara se så det inte är något jag missförstått.

Jag fick frångå LaTeX litegrann då jag skriver på mobilen. Hoppas det ändå går att förstå.

Ja, det stämmer.

Det du pratar om har faktiskt ett eget namn och formuleras ungefär så här (se din bok!)

Dimensionssatsen: Låt $A$ vara en $m\times n$ -matris. Då gäller att

$\mathrm{dim} \mathrm{null}(A) + \mathrm{dim} \mathrm{rank} (A) = n$

Med andra ord, summan av dimensionen av nollrummet och dimensionen av värderummet (kolonnrumet) ska vara lika med det totala antalet kolonner i matrisen.

Tillägg: 31 mar 2024 14:30

Det ska såklart vara antingen

$\dim \mathrm{null}+\dim \mathrm{col}(A)=n$

eller

$\mathrm{dim}\, \mathrm{null}(A)+ \mathrm{rank}(A)=n$

D4NIEL skrev:
Ja, det stämmer.

Det du pratar om har faktiskt ett eget namn och formuleras ungefär så här (se din bok!)

Dimensionssatsen: Låt $A$ vara en $m\times n$ -matris. Då gäller att

$\mathrm{dim} \mathrm{null}(A) + \mathrm{dim} \mathrm{rank} (A) = n$

Med andra ord, summan av dimensionen av nollrummet och dimensionen av värderummet (kolonnrumet) ska vara lika med det totala antalet kolonner i matrisen.

Dimensionssatsen har jag koll på! Skulle bara kolla så jag inte missuppfattat något! Superb. Tack för bekräftelse.

Svara