Linjär algebra -Enhetsvektorer
Jag håller för tillfället på med linjär algebra och accepterade räknereglerna av enhetsvektorer och ortogonal projektion men nu när jag arbetar med svårare problem som relaterar till enhetsvektorer eller basvektorer som det också kallas (vet inte om dessa är synonyma eller som varje enhetsvektor har 1 l.e. medans varje basvektor behöver vara parallell längs x, y, z-riktning beroende på dimension(erna) som arbetas med) märker jag att jag inte riktigt har en intuition om basvektorer.
När det kommer till bilden ovanför så är det självklart att vektorn u och u' inte är ortogonala, och jag förstod inte varför enhetsvektorn var placerat just där i figuren, men jag tror att jag förstår nu (snälla rätta mig om jag har fel.
I figuren ovanför arbetar vi i och det finns därför en komponent i x-axeln och en komponent i y-axeln som "spänner upp" vektorn. Jag skulle därför föredragit att rita figuren på detta sätt:
Mina frågor:
1. 
Utifrån denna paragraf verkar det som skalärprodukten av u och e ger längden, men tidigare i kapitlet nämner de att en skalär anger "bidraget" till en godtycklig vektor. Längden ges väl av ,
2. När det kommer till ex. en sådan uppgift:
Så är ju inte e=(1,0,0) vilket den borde vara utifrån mitt tidigare resonemang om att enhetsvektorer "spänner upp" en godtycklig dimension ex. R2 eller R3 som det verkar se ut i
Är detta möjligtvis eftersom detta är den väsentliga skillnaden mellan enhetsvektorer och basvektorer?
Här här båda ortogonala så båda är godtyckliga för att spänna upp F.
Jag är inte helt med på exakt vad du frågar, men en viktig detalj verkar vara begreppet
"att spänna upp det tvådimensionella rummet".
Två vektorer u och v spänner upp det tvådimensionella rummet om varje tvådimensionell vektor kan skrivas som en linjärkombination av u och v, alltså som Au + Bv med några skalärer A och B.
Släpp nu koordinatsystemen, och tänk i stället på ett stort vitt papper (ett xy-plan). Då blir det kanske lättare att se att u och v inte behöver vara vinkelräta mot varandra, och inte heller ha någon speciell längd. Så länge u och v inte är helt parallella, så kan du alltid hitta en linjärkombination som tar dig dit du vill. (Oftast vill man ha längden 1 på basvektorerna, men det är inte nödvändigt. Om de har längden 1 kallar man dem enhetsvektorer.)
Exempel med tvådimensionell karta:
Om u t.ex. är rakt österut, så innehåller v något litet bidrag norrut eller söderut (de är ju inte parallella). Då kan Au+Bv få vilken riktning som helst. Välj B så att bidraget norrut blir rätt, och sedan A så att bidraget österut blir rätt. Det här exemplet blir allmängiltigt om du "roterar kartan" så att du inte måste tänka på väderstreck.
Jag hoppas att mitt svar hjälper. Fråga mer om något är oklart.
