Linjär algebra: En bas i R^3

thedifference skrev:

För vilka värden på parametern $\lambda$ utgör de tre vektorerna $(5-\lambda , -1, -2), (-1, 5-\lambda , -2)$ och $(-2, -2, 2-\lambda )$ en bas i ${\mathrm{ℝ}}^3$?

Kort och gott: Vad betyder det sista? Det enda jag tänker mig är att det blir samma vanliga ekvationssystem där alla HL är 0, men nu ska VL höjas upp till 3 på något sätt? Vilket inte låter vettigt ens om jag listar ut hur, för om HL är 0 så är VL 0 innan det höjts upp till 3 också.

För att tre vektorer skall utgöra en bas krävs det väl att inte en av dem är en linjärkombination av de båda andra.

Det vet jag, men vad betyder villkoret att de ska vara en bas i ${\mathrm{ℝ}}^3$? Om de bara skulle vara en bas hade jag förstått.

Vektorerna ligger ju i ${\mathrm{ℝ}}^3$ - de har tre reella koordinater.

PATENTERAMERA skrev:

Vektorerna ligger ju i ${\mathrm{ℝ}}^3$ - de har tre reella koordinater.

Okej, baserat på detta har jag försökt lösa uppgiften:

$$\begin{gathered} x(5-\lambda , -1, -2) + y(-1, 5-\lambda , -2) + z(-2, -2, 2-\lambda )=(0, 0, 0) \\ \left\{\begin{array}{l}(5-\lambda )x-y-2z=0\\ -x+(5-\lambda )y-2z=0\\ -2x-2y-(2-\lambda )z=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Tar ekvation 1 minus ekvation 2 och får då:

$$\begin{gathered} x(6-\lambda )-y(6-\lambda )=0 \\ (x-y)(6-\lambda )=0 \\ (x, y, z, \lambda ) =\hspace{0.17em}(t, t, -t, 6), t\in \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

Här brottades jag lite med att förstå facit som säger

$\lambda \ne 0 och 6$

men under skrivandet av detta inlägg har det klarnat lite. Lambda får inte vara 6, eftersom då finns det andra koefficienter än (0, 0, 0) som leder till just vektorn (0, 0, 0). 6 är ett dåligt värde.

Varför det inte får vara 0 kan jag dock inte komma fram till, ej heller om jag inte hade tittat i facit hade jag vetat att det fanns just två lösningar (edit: eller att jag kunde vara säker på den där sexan utan att arbeta mer med systemet). Omskrivning av den nedre ekvationen ger

$2x+2y+2z=\lambda$

Om lambda vore 0, skulle det betyda att x+y+z också är 0, men jag kan inte se att detta är ett problem.

$\lambda=0$ är ingen lösning.

$\color{red}\text{Jovisst, det är en lösning}$

Finns det något lösningsförslag att tillgå?

Nej, allt facit säger är

$\lambda \ne 0 och 6$

vilket jag tolkar som att alla reella värden på lambda utom 0 och 6 gör att vektorerna blir en bas.

Testa att stoppa in $\lambda=0$ och ta fram bildrummet. Detta är $\mathbb{R}^3$ vilket medför att vektorerna utgör en bas.

Efter att ha dubbelkollat kan jag säga att facit har rätt trots allt.

En metod du kan använda, vilket kanske är lättare, är att ställa upp systemet som en matris och beräkna determinanten. Vektorerna kommer vara linjärt oberoende för alla $\lambda$ som medför att determinanten till matrisen är nollskild.