Linjär algebra - ekvationssystem - underbestämt
Lös ekvationssystemet:
x+2y+3z+4w=1
y-3z-w = 5
Hur ska man tänka här?
1) Om man har ett ekvationssystem om kommer fram till en sista rad med 0=0 så har väl systemet oändligt antal lösningar där man sätter den sista i raden av obekanta, tex om man har x y z , till en parameter?
2) om man har tex 0=9 eller någon annan motsägelse - så har systemet ingen lösning?
3) men här - hur gör man och hur ska man tänka, vill verkligen förstå?
Ledningen säger: "Ur den andra ekvationen kan y lösas ut för varje värde på z och w. Med z=s och w=t blir det y = 5+3s+t"
Men jag förstår inte hur man gör och varför man gör/får göra så, eller vad det säger mig.
4 variabler och 2 ekvationer kommer att ge lösningar med 2 fria parametrar. Känns det rimligt?
Du kan välja två av dina variabler som fria parametrar, eller två (ej kolinjära) linjärkombinationer. Övriga variabler kan då lösas ut i parametrarna.
1) och 2) ovan - har jag rätt där?
Om ja: är dessa fall de enda där man har oändligt / ingen lösning?
3) Jag är inte med på detta med parametrar - har inte förstått det helt vad man menar med detta och hur man ska tänka. Det är mer att jag lärt mig att man om man får 0 = 0 ska sätta,... osv som jag skrev ovan.
Eftersom du postar under "högskola" tycker jag att du kan vara lite mer formell i din syn på ekvationssystem.
Det första du ska göra är att forma totalmatrisen M och genom elementära radoperationer överföra denna till trappstegsform. I ditt fall är din totalmatris M redan på trappstegsform
Variabler som hör till trappstegsmatrisens pivotelement kallas bundna. Övriga variabler kallas fria.
Ett pivotelement för en rad i en matris är det första nollskilda elementet. Rad 1 har pivotelementet 1, rad två har pivoelementet 1. En rad med bara nollor saknar pivotelement.
Vad som menas med trappstegsform borde vara självklart, annars kan en formell definition vara att M är trappstegsformad om och endast om varje pivotelement står till höger om pivotelementet i raden ovanför.
Lösningarna får vi genom att ge de fria variablerna godtyckliga värden (t.ex. s och t) och sedan lösa ut de bundna variablerna, en efter en, nerifrån och upp.
Rangen för en matris M är antalet pivotelement när M är trappstegsformad.
Rangen för ditt M här är 2 (två pivotelement). Du har n=4 variabler.
Det betyder att du har n-r (4-2=2) fria variabler. Man säger att lösningsskaran har dimensionen n-r.
Om r=n är lösningen entydig. I ditt fall är r<n vilket betyder att det finns oändligt många lösningar (i den n-r-dimensionella lösningsskaran).
Om något av Ms pivotelement står i sista kolonnen saknar ekvationssystemet lösningar eftersom det leder till en orimlig ekvation (0=någon konstant för ekvationsystemet Ax=b).
På 1) skulle jag säga att du inte riktigt får till formuleringen. Om du har n obekanta och m ekvationer kommer det krävas n-m parametrar. I ditt fall har du 4 obekanta och 2 ekvationer, så du behöver 4-2 parametrar.
Som tidigare nämnt så har du din ekvation på trappstegsform, vilket är smidigt att ha. Det gör man via radoperationer, antingen som en matris eller så behåller du det som ett klassiskt ekvationssystem (om du inte jobbat med matriser tidigare eller bara tycker det funkar lika bra).
Du kan sätta upp att x=1-2y-3z-4w och y=5+3z+w. Lämpligt blir ju då att sätta z och w till parametrar. z=s, w=t. Eftersom du nu har trappstegform så kan du lösa tillbaka baklänges. Du löser ut y med parametrar som blir y=5+3s+t. Sen kan du stoppa in det i uttrycket för x och får x=1-2*(5+3s+t)-3s-4t=-9-9s-6t. Så då har du ditt svar
x=-9-9s-6t
y=5+3s+t
z=s
w=t
Så om man sätter ett visst värde på s och t så kommer man få ett värde på y och x.
Hade du haft fler okända hade du fått fortsätta att lösa ut genom att sätta in x och y osv.
