Linjär algebra - ekvation i normalform

Hej!

Jag är inte säker på att detta är den mest effektiva lösningen, men jag tror att metoden fungerar.

Du vet två punkter i planet:

P₁(-1, 2, 1)    Från uppgiften

P₂(0, 2, -1)     Ligger på linjen, fås från linjens ekvation

Du vet även en riktningsvektor för planet:

v = (2, -1, -1)    Fås från linjens ekvation

För att ange ekvationen för ett plan behöver vi en punkt och två riktningsvektorer. Med hjälp av de två punkter vi känner till kan vi bilda ytterligare en vektor:

u = P₁P₂ 

Sedan kan vi skriva planets ekvation på parameterform med hjälp av en valfri punkt och de två vektorerna. Efter det kan du skriva om parameterformen till normalform.

Säg till om jag ska visa något av stegen mer utförligt. Det är också möjligt att det finns en bättre lösning.

Tusen tack för hjälpen! Denna typ av lösning duger bra.

Men skulle du kunna förklara mer noggrant steget "Sedan kan vi skriva planets ekvation på parameterform med hjälp av en valfri punkt och de två vektorerna"? 

Ja, absolut.

Först får vi räkna fram vektorn u:

u = P₁P₂ = (0-(-1), 2-2, -1-1) = (1, 0, -2)

Om vi väljer att använda oss av punkten P₂ samt våra två vektorer, v och u, kan vi skriva planet så här:

$\left\{\begin{array}{l}x=0+2t+s\\ y=2-t+0s\\ z=-1-t-2s\end{array}\right.$

De blå siffrorna kommer från punkten P₂, de rosa från vektorn v och de gröna från vektorn u.

t och s är två parametrar jag har valt som kan vara vilka reella tal som helst.

Nu när jag ska skriva om från parameterform till normalform får jag inte till det. Hur ska man göra när det blir så många variabler?

För att skriva om ett plan till normalform löser men ekvationssystemet som att s och t var de okända variablerna. Vi skriver om ekvationssystemet så här, med s och t i vänster led:

$\left\{\begin{array}{l}2t+s=x\\ t=2-y\\ t+2s=-1-z\end{array}\right.$

Du har redan ett uttryck för t (t = 2 - y). Försök att få fram ett liknande uttryck för s. När du har uttryck för både t och s kan du sätta in dessa i en av ekvationerna, exempelvis i 2t + s = x.

Då kommer du får en ekvation utan s och t, med bara x, y, z och siffror. Skriv om den ekvationen så att höger led blir 0. Det är planets ekvation på normalform.