Linjär Algebra, ekvation av plan

Hej! Jag har en fråga angående beräkning av ekvation för ett plan. Givet punkterna: (1, 1, 1) (1, 2, 3) (2, 1, -1) som efter att ha bildat 2 riktningsvektorer (icke parallella) ger möjlighet för beräkning av determinant, som därmed ger ekvationen på normalform (genom att använda riktningsvektorer och placera dem i kolonnerna):

Samma riktingsvektorer används för beräkning av de två ekvationerna: (0, 1, 2) (1, 0, -2)

$|\begin{matrix} x - 1 & 0 & 1 \\ y - 1 & 1 & 0 \\ z - 1 & 2 & - 2 \end{matrix}| = - 2 x + 2 y - z + 1 = 0$

Kan man också göra såhär för att beräkna ekvationen för planet? Alltså är båda metoder lika giltiga för att beskriva planet?

Givet de tre punkterna kan två (icke parallella) riktningsvektorer bildas, vilket tillsammans med en av punkterna och en variabel punkt (x,y,z) nyttjas för att beskriva ett plan på parameterform. Ett exempel på detta är:

(1, 1, 1) (1, 2, 3) (2, 1, -1) som efter att ha bildat 2 riktningsvektorer ger formeln:

(x, y, z ) = (1 - t, 1 - s, 1 - 2s + 2t)

Vet inte riktigt om jag förstår frågan. Båda metoder beskriver planet, men parameterform är ingen ekvation.

Varför kan parameterform inte ses som en ekvation?

Det är en ekvation. Alla punkter $\mathbf{x}=(x,y,z)$ i planet uppfyller ekvationen

$\mathbf{x}=\mathbf{x}_0+s\vec{u}+t\vec{v}$

Där $\mathbf{x_0}=(x_0,y_0,z_0)$ är en sedan tidigare given punkt i planet, $\vec{u}, \vec{v}$ är två linjärt oberoende vektorer som spänner planet och $s,t$ är två reella parametrar.

Tack!

Svara

Visa senaste svar