Linjär algebra, ekv-system

Hejsan! Uppgiften jag har problem med lyder

Undersök om det inhomogena systemet

$\{\begin{cases} a x + y + 2 z = 4 x + y + z = 1 \\ x + a y + 2 z = 0 \end{cases}$

har mer än en lösning för något värde på konstanten a. Lös i förekommande fall systemet fullständigt.

Jag tänker att för att systemet ska ha mer än en lösning, så ska det ha oändligt många lösningar, alltså det ska bli en parameterlösning. Det blir det ifall jag kan få sista ekvationen att bli 0 = 0. Har jag tänkt rätt so far?

Jag har testat att gausseliminera först med x. Då har jag multiplicerat ekv. 1 och 2 med -a för att sedan addera första ekvationen till båda. Efter det multiplicerar jag andra ekvationen med -1 för att addera till tredje ekvationen.
Här antar jag att a $\neq$ 0 och bryter ut a från sista ekvationen för att slutligen få att ekvation 2 och 3 ser ut såhär

$\{\begin{cases} a x + y + 2 z = 4 \\ y (1 - a) + z (2 - a) = 4 - a \\ y (1 - a) - z = 1 \end{cases}$

Multiplicerar jag sedan nr 2 med - 1 och adderar med 3 så får jag slutligen att

$z = \frac{5 - a}{3 - a}$

Och detta kan inte stämma då jag vet om att systemet har fler än en lösning för a = 3. Vad har jag gjort för fel?

Hälsningar

..?

menwahs skrev:
..?

Råkade klicka på något när jag skulle skriva. Försöker fortfarande vänja mig med laptop tangentbord och keypad till mus hehe

Det är lätt att tappa bort sig i dina uträkningar. Jag har dock hittat ett fel:

Arythmeatox skrev:
$\{\begin{cases} a x + y + 2 z = 4 \\ y (1 - a) + z (2 - a) = 4 - a \\ y (1 - a) - z = 1 \end{cases}$

Ekvation (3) ger:

$y (1 - a) - z = 1 \Leftrightarrow y (1 - a) = z + 1$

Stoppar man in det i ekvation (2):

$y (1 - a) + z (2 - a) = 4 - a$

så får man

$z + 1 + z (2 - a) = 4 - a z + 2 z - a z = 4 - a - 1 z (3 - a) = 3 - a z = \frac{3 - a}{3 - a}$

Jag rekommenderar att du kontrollräknar det du räknat steg för steg.

Bedinsis skrev:
Det är lätt att tappa bort sig i dina uträkningar. Jag har dock hittat ett fel:

Arythmeatox skrev:
$\{\begin{cases} a x + y + 2 z = 4 \\ y (1 - a) + z (2 - a) = 4 - a \\ y (1 - a) - z = 1 \end{cases}$

Ekvation (3) ger:

$y (1 - a) - z = 1 \Leftrightarrow y (1 - a) = z + 1$

Stoppar man in det i ekvation (2):

$y (1 - a) + z (2 - a) = 4 - a$

så får man

$z + 1 + z (2 - a) = 4 - a z + 2 z - a z = 4 - a - 1 z (3 - a) = 3 - a z = \frac{3 - a}{3 - a}$

Jag rekommenderar att du kontrollräknar det du räknat steg för steg.

Jag räknade om hela systemet och kom fram till samma som du. Då måste det väl ändå visa på rätt svar, att om a = 3 finns oändligt många lösningar då det kommer stå z*0 = 0 vilket är sant och man kan sätta in en parameter t och lösa systemet?

Jag håller med dig.

Jag prövade även att kontrollera i ditt ursprungliga system; om a=3 blir ekvation (1)+ekvation (3) = 4* ekvation(2), vilket innebär att vi kommer få oändligt med lösningar.

Svara

Visa senaste svar