Linjär algebra - egenvärde

Nu har jag inte dubbelkollat din uträkning, men har du räknat rätt (vlket jag tror, det blir fina siffror) så vill du alltså hitta lösningarna till 4-3x²-x³=0. Dem kan du ganska enkelt gissa. Kanske blir det enklare att se om du skriver om det som x²(3+x)=4. Kan du inte gissa alla så kan du gissa en, och sen göra polynomdivision för att få en andragradsfunktion istället.

Såna här tal brukar vara konstruerade så att minst en rot är rationell, även om det går att lösa tredjegradsekvation med en formel med rotutdragningar så är det inget man förväntas kunna. Satsen om vilken möjlig form det kan vara på rationella rötter bör man kunna så vet man vilka man behöver testa. I det här fallet kan det bara vara heltalsrötter eftersom koefficienten för tredjegradstermen är 1 och de möjliga heltal som kan komma i fråga måste dela 4 så det finns bara -4, -2, -1, 1, 2, 4 att testa.

Sen som kuriosa kan nämnas att eftersom

$A =\hspace{0.17em}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] =\hspace{0.17em}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right] - 2I$

så har du en skalad (faktor 3) projektion (på (1,1,1)) minus 2 ggr identiteten. Att dra bort 2 ggr identiteten skiftar egenvärdena 2 steg i negativ riktning. Den skalade projektionen har egenvärden 3, 0 och 0 med egenvektorer t ex (1, 1, 1), (1, -1, 0), (1, 0, -1) (dels vektorn som projiceras på (1, 1, 1) och sen två vektorer ortogonala mot den, matrisen är symmetrisk så egenvektorerna är ortogonala).

Alltså är egenvärdena 1, -2 och -2.

Du kan enkelt testa de föreslagna egenvektorerna ovan och multiplicera med A för att verifiera att de är egenvektorer och se vilka egenvärden de har.

I och för sig behöver man inte gissa men...

$x^3+3x^2-4=0$

...ser inte de flesta av oss åtminstone det till synes uppenbara...då återstår möjligen
$$\begin{gathered} (x^2+ax+b)(x-1)=0 \\ b=4 \\ a=... \end{gathered}$$