Linjär algebra - Diagonalisera matris (Matematik/Universitet)

Du har en matris $A$ . För att diagonalisera matrisen så måste du först hitta egenvärdena (det har dom gjort) och sedan egenvektorerna till dessa värden. Det gör du genom att sätta in egenvärdena i matrisen och lösa för $(A-\lambda I)x=0$ sen parametrisera lösningen. Utifrån dessa vektorer skapar du en matris $P$ och sedan är den diagonaliserade matrisen $D$ givet från $D=P^{-1}AP$ .

Så här långt har jag kommit. Något är fel på den nedre matrisen där egenvärdet är 5 (eftersom undre raden ska bli enbart 0 0 0). Hittar någon vad felet är?

Hej Fanny,

Du har slarvat här

Sista raden blir 0, 9, -6 varför du kan addera rad 2 till rad 3 och erhålla

$\begin{bmatrix}1 &-2 &-1\\ 0 &-9 &6 \\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}$

Tack!! Man stirrar sig blind tillslut och hittar inget..

Nu har jag fortsatt med uppgiften. Jag följde en föreläsning samtidigt och försökte göra som han gjorde i den.. Men jag ser att jag måste gjort fel någonstans igen. Här kommer allt jag gjort efter korrigeringen av felet.

Jag slutade när jag förstod att det var fel och har gått tillbaka och letat men hittar inte..

Din egenvektor för $\lambda=5$ är korrekt. Du kan skriva om den till $(1,2,3)$ om du vill.

Så du skapar matrisen P som består av $E(-1)$ och $E(5)$ . Sätt P som $(\begin{matrix} - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix})$ .

Ett litet tips: Din diagonaliserade matris följer då med dina egenvärden. Eftersom den första och andra kolonnen är från $E(-1)$ , medan tredje kolonnen är från $E(5)$ så kommer din diagonaliserade matris vara $D=$ $(\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})$

Om du sätter in och utför $P^{-1}AP$ så kommer du se att det handlar enbart om hur du lägger egenvärdsvektorerna.

Hade du lagt egenvektorerna enligt P= $(\begin{matrix} - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix})$ så hade du fått att första och tredje kolonnen kommer från $E(-1)$ och andra kolonnen från $E(5)$ . Alltså är D= $(\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})$

Okej, jag tror jag är med på det du säger.. Men då innebär det att mitt svar egentligen också är rätt? Eller tänker jag fel?

Din invers verkar vara fel. Du har alltså skapat en matris $P$ bestående av egenvektorerna till A. Dessa uppgifter hör inte ihop eller? För enligt din första så fick du att för $E(-1)$ så var egenvektorerna $(-1,1,0)^T\wedge (-1,0,1)^T$ . Var är dessa?

Är det du försöker göra att ortogonal-diagonalisera matrisen A? Så att matrisen $P$ är ortogonal?

Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.

Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P..

åsbergfanny skrev :
Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.
Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P..

Jag tror han valde att dela med två av en anledning, så det kan du inte bara göra generellt.

Metoden man gör är att du hittar egenvärden till en matris A. Sedan hittar du egenvektorerna, och är inte den geometriska multipliciteten samma som den algebraiska så går det ej att diagonalisera matrisen A. Efter du har egenvektorerna (och du vet att den går att diagonalisera) så skapar du en matris P bestående enbart av egenvektorerna, sedan hittar du den diagonaliserade matrisen D utifrån $P^{-1}AP$ .

Så du verkar ha fastnat på att skapa P. Sätt in dina vektorer $(-1,1,0)^T,(-1,0,1)^T, (1,2,3)^T$ i din matris P och använd sedan definitionen så ser du kanske sambandet jag beskrev ovan.

woozah skrev :
åsbergfanny skrev :
Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.
Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P..
Jag tror han valde att dela med två av en anledning, så det kan du inte bara göra generellt.

Lite oklart vad du menar här, men för säkerhets skull vill jag poängtera att det går alldeles utmärkt att skala om sina egenvektorer med en nollskild konstant om man känner för det (t.ex. om det blir enklare att räkna). Det kan också hända att Fannys föreläsare ville normera egenvektorerna av någon anledning.

åsbergfanny skrev :
Okej, jag tror jag är med på det du säger.. Men då innebär det att mitt svar egentligen också är rätt? Eller tänker jag fel?

Hej Fanny,

Du börjar med att sätta upp en korrekt P, men sedan sätter du plötsligt element 3,3 till 0, se min första röda markering. Du slarvar också lite med dina elementära radoperationer:

Om man håller tungan rätt i munnen ger Jacobis metod $[\mathbf{P|E}]$ ~ $[\mathbf{E|P^{-1}}]$ istället:

$[\mathbf{E}\mathbf{P^{-1}}]=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | &-\frac{2}{3} & \frac{4}{3} &-\frac{2}{3}\\0 & 1 & 0 & | &-1 &-1 &1\\0 & 0 & 1 & | &1 & 1 &1\\\end{pmatrix}$

Guggle skrev :
woozah skrev :
åsbergfanny skrev :
Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.
Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P..
Jag tror han valde att dela med två av en anledning, så det kan du inte bara göra generellt.
Lite oklart vad du menar här, men för säkerhets skull vill jag poängtera att det går alldeles utmärkt att skala om sina egenvektorer med en nollskild konstant om man känner för det (t.ex. om det blir enklare att räkna). Det kan också hända att Fannys föreläsare ville normera egenvektorerna av någon anledning.

Ja, precis. Det var kanske lite otydligt av mig, men det verkar vara ganska konstigt att välja det ändå tycker jag. Att arbeta med heltal är ju rätt bra ändå, enligt mig.

woozah skrev :
Guggle skrev :
woozah skrev :
åsbergfanny skrev :
Jag följde hur min föreläsare gjorde i ett exempel. Han delade då alla siffror på 2 när han skrev P.. Jag förstod inte riktigt varför, men gjorde detsamma.
Han partade något att dela med längden på vektorerna för att få fram P..
Jag tror han valde att dela med två av en anledning, så det kan du inte bara göra generellt.
Lite oklart vad du menar här, men för säkerhets skull vill jag poängtera att det går alldeles utmärkt att skala om sina egenvektorer med en nollskild konstant om man känner för det (t.ex. om det blir enklare att räkna). Det kan också hända att Fannys föreläsare ville normera egenvektorerna av någon anledning.

Ja, precis. Det var kanske lite otydligt av mig, men det verkar vara ganska konstigt att välja det ändå tycker jag. Att arbeta med heltal är ju rätt bra ändå, enligt mig.

Precis! Han kallade det normera egenvektorerna. Men det är alltså inte något som jag behöver göra utan jag gör det om jag har "svåra tal"?

Så P ska jag skriva som (-1,1,0) (-01,0,1) Men den sista då? Ska jag skriva (1/3,2/3,1) Eller som någon här skrev tidigare (1,2,3) Spelar det någon roll? Ät det viktiga att sambandet är lika?

Och spelar det någon roll vilken ordning jag sätter vektorerna i?

Såhär fick jag nu.. Men det är inte rätt enligt facit

Du har några slarvfel när du multiplicerar ihop matrisen

Möjligt att det finns fler.

Stokastisk skrev :
Du har några slarvfel när du multiplicerar ihop matrisen
Möjligt att det finns fler.

Hur kan du få 6/6? -2/6*3 blir väl -6/6 ?

Ja det är alltså -6/6 jag menar att du ska ha där, men om du kollar så har du räknat med att det står -4/6 där och inte -6/6.

Nuså fick jag rätt svar.

$[\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]$ Men på en liknande uppgift fick jag diagonalen omvänt.. Alltså såhär: $[\begin{matrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$

Är det också rätt svar?

Hej Fanny,

egenvärdena i matrisen hamnar i den ordning du själv valt genom placeringen av egenvektorerna (kolonnerna) i P. Om du istället hade valt att sätta

$P=\begin{bmatrix}1 &-1 &-1\\2&1&0\\3&0&1\end{bmatrix}$ Hade du fått

$P^{-1}=\begin{bmatrix}1/6 &1/6 &1/6\\-1/3&2/3&-1/3\\-1/2&-1/2&1/2\end{bmatrix}$

Och diagonalmatrisen D blir

$D=P^{-1}AP=\begin{bmatrix}5 &0 &0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$

Ja det är det nog. Men notera följande, om $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ är egenvärdena och $v_1, v_2, v_3$ är de tillhörande egenvektorerna och man väljer att låta

$P = [\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]$

Så att vektorerna formar kolumnerna i P. Då kommer det gälla att

$P^{- 1} A P = D = [\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{2} \end{matrix}]$

Så man behöver alltså inte multiplicera ihop $P^{-1}AP$ för att komma fram till diagonalmatrisen.

Notera alltså att vilka värden du får i diagonalen matchar hur du placerade egenvektorerna i P, de kommer komma i samma ordning.