Linjär algebra. Determinanter. Akut problem

Vi har vektorerna u = (1,3,1), v = (1,0,2), w=(-1,1,1) och vill beräkna $u \cdot (v \times w)$ med determinanter. I lösningarna hittar jag:

$d e t [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}]$

Varför slår man bara ihop vektorerna sådär? Det är trots allt, vektorprodukt och skalärprodukt (olika operatorer)...

Notera att du har att

$v \times w = (|\begin{matrix} v_{2} & v_{3} \\ w_{2} & w_{3} \end{matrix}|, - |\begin{matrix} v_{1} & v_{3} \\ w_{1} & w_{3} \end{matrix}|, |\begin{matrix} v_{1} & v_{2} \\ w_{1} & w_{2} \end{matrix}|)$

Detta betyder att

$u \cdot (v \times w) = u_{1} |\begin{matrix} v_{2} & v_{3} \\ w_{2} & w_{3} \end{matrix}| - u_{2} |\begin{matrix} v_{1} & v_{3} \\ w_{1} & w_{3} \end{matrix}| + u_{3} |\begin{matrix} v_{1} & v_{2} \\ w_{1} & w_{2} \end{matrix}| = |\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix}|$

Där sista likheten följer genom att utveckla determinanten längs översta raden. Notera sen att determinanten av A och A^t är lika.

Jättebra förklaring. Tack!!!

Svara