Linjär algebra, Determinant

Den skalära trippelprodukten kan tolkas som determinanten av den matris som har de tre vektorerna som rader eller kolonner. 

Rent geometriskt är den skalära trippelprodukten volymen (med tecken) av parallellepipeden som definieras av de tre vektorerna.

Om denna volym är noll måste alla vektorer vara parallella med samma plan.

Tack! Om volymen inte är noll, dvs elementen i matrisen är linjärt oberoende, betyder detta då att ingen av dem kan befinna sig i samma plan?

Två vektorer $\mathbf{v},\,\mathbf{w}$ spänner alltid ett plan genom origo med normalen $\mathbf{v}\times \mathbf{w}$ om de inte är parallella.

I bilden ser vi hur $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ spänner ett plan. Men för att parallellepipeden ska ha en nollskild volym får inte vinkeln $\theta$ mellan den tredje vektorn $\mathbf{u}$ och kryssprodukten (dvs normalen till planet) $\mathbf{v}\times \mathbf{w}$ vara rät. Volymen är ju determinanten

$V=\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=\det\,[\mathbf{u}\,\,\mathbf{v}\,\, \mathbf{w}]$

Detta klargjorde en hel del, tusen tack!