Linjär algebra - determinant
Hej!
Man kan ibland (?) räkna ut determinanten genom att multiplicera alla siffror på diagonalen.
Man gör först en Gauss eliminering, och sedan multipliceras siffrorna på diagonalen.
Och då får man determinanten.
MEN- om man har bytt plats på några rader under Gausselimineringen- då ska man ta determinanten gånger -1.
Det där förstår jag inte ?
Är det lite som samma sak som att om man flyttar något till andra sidan likhetstecknet så byter det tecken?
Kan man tänka på något liknande sätt : "man lägger till xxx på båda ställena" eller liknande?
Eller hur kommer man fram till detta?
Det är lite oklart om du frågar efter varför man gör så eller hur man ska göra när man gör rad-, eller kolonnoperationer på en determinant. Reglerna är iaf
1. Addera en multipel*rad till annan rad, inget händer med determinanten
2. Multiplicera en rad med en nollskild konstant k, determinantens värde multipliceras då också med k.
3. Byta plats på en rad/kolonn: Determinanten multipliceras med (-1)
Kan återkomma med ett bevis om du vill ha det.
Varje operation i Gauss-Jordaneliminering svarar mot multiplikation med en viss elementärmatris. När du GJ-eliminerar tills du får fram en övre triangulärmatris har du egentligen skrivit matrisen som en lång produkt av elementärmatriser, och därefter den diagonalmatris du räknar med. Det gäller att , vilket medför att du kan beräkna determinanten av hela den produkt du fått fram. Elementärmatrisen som byter rad har determinanten -1, medan elementärmatrisen som tar en rad, multiplicerar den med t och adderar produkten till en annan rad har determinanten 1. Om du inte bytt plats på någon rad, eller multiplicerat någon rad med en konstant under din GJ-eliminering, behöver du bara ta hänsyn till diagonalmatrisens determinant, eftersom alla elementärmatrisers determinanter är ett. Om du däremot bytt plats på någon rad måste du byta tecken på diagonalmatrisens determinant, eftersom du multiplicerat med en matris med determinanten -1.
Om jag byter plats på t.ex. rad 2 och 3 i en matris- då har jag alltså egentligen multiplicerat min matris med en annan matris?
Och den andra matrisen (som jag inte ens visste att den finns- jag bara förutsätter att det nog finns en där)... den har som en händelse determinant -1?
Hur vet jag det?
Var kommer den andra matrisen ifrån? Hur ser den ut?
Jag hänger inte med...
Javisst! Alla elementära radoperationer du gör på en matris kan ses som en vänstermultiplikation med en elementär matris. Här finns ett exempel där de går igenom hur några elementära matriser ser ut för ett antal radoperationer: http://people.math.carleton.ca/~kcheung/math/notes/MATH1107/wk05/05_elementary_matrices_example.html
Jaha... jag får fundera på det här ett tag... så trillar nog polletten ner om en stund :)
Tack för svaren.
