Linjär Algebra - delrum

Tjenare!

Håller på med lite räkneuppgifter och skulle gärna ta emot ett litet förtydligande på följande:

Avgör om följande är delrum i respektive vektorrum:

$\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\overline{)xy=0}\right\}\subset {\mathrm{ℝ}}^2$, låt oss kalla uttrycket innanför {} för U.

Kollade först att om $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$blir funktionen 0, alltså är $\overrightarrow{0}$

ett element i delmängden U och därför icke-tom.

Sen ville jag kolla om $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \in U$för att kolla om $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in U$,

får då att $\overrightarrow{v}= \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right), \overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$

fortsätter då med att $v_1{v}_2=0 och att u_1{u}_2=0$

utifrån funktionen som definierar U.

Härefter är jag osäker på om jag gör rätt, för att nu kolla om $\overrightarrow{u}+\stackrel{\to }{v}\in U$

satte jag $(u_1+v_1)(u_2+v_2) = u_1{u}_2+u_1{v}_2+v_1{u}_2+v_1{v}_2=u_1{v}_2+v_1{u}_2\ne 0$

Förenklade bort de uttryck jag redan konstaterat är lika med noll.

Här sa jag då att svaret är nej, vilket stämde med facit, dock sa facit endast "nej" (har inte kollat villkoret med lambda eftersom jag trodde att detta räckte) men min fråga är väl snarare, har jag tänkt rätt på min motivering/uträkning om varför det inte är ett delrum i vektorrummet, och isåfall varför är detta tillräckligt?