Linjär Algebra - Delmängd/Delrum

Hej!

Då har man tagit upp en kurs i linjär algebra efter att inte ha pluggat algebra på snart 3 år och det känns.. Sitter och strular med en uppgift som lyder som följande:

"Avgör om delmängden U är ett delrum av vektorrummet V,

$V=\{alla (3\times 3) matriser \} och U = \{ A \in V \overline{) AB=BA}\} där B\hspace{0.17em}= \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$"

Har kollat på villkoren för för ett delrum, där det första kräver att U inte är tomt, vilket jag anser det uppfylla eftersom vi ser i U att AB=BA vilket ger oss att $AB-BA=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$. 

Alltså är $\overrightarrow{0}\in U$, och där med är inte U tom.

Då har vi de andra två villkoren.

Visa att $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in U, och \lambda \overrightarrow{u}\in U$.

Och det är här det går utför och jag kan inte riktigt applicera materialet jag har från kursen på vektorer som element i U för att utföra additionerna och undersöka om dessa är en del av U och då även AB?

Min spontana tanke var att sätta A till identitetsmatrisen eftersom den kan vara vilken 3x3 matris som helst enligt uppgiften och då får att AB=BA=B.
Utifrån det var min tanke att kalla resp. kolonnvektor för V1, V2, V3 så att:

$B = \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right), V1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right), V2 =\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right), V3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

För då är väl $V1, V2\in U$

Och då vill jag addera V1 och V2 för att visa på att

$V1+V2\in U\to \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)\in U\to \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)\in U$

och på så vis visa att villkoret stämmer.

Men då blir mina funderingar kring.

Hur visar jag att V1+V2 är ett element i U utifrån detta?
Alt. vad håller jag på med för jag känner att detta blir väldigt långdragen uträkning för något jag tror ska vara en rätt enkel uppgift...

Om någon kan ge mig något direktiv på om jag har spårat ur helt eller om jag är på väg i rätt riktning eller vart jag kan hitta material som ger mig lite mer insikt hade jag varit väldigt tacksam!