Linjär algebra: definierar alltid en bilinjär form på ett endimensionellt vrum en algebra?

Jag stod och beundrade utsikten genom mitt fönster med nyduschat blött hår när jag plötsligt insåg att multiplikationsoperatorn som gör ett vektorrum till en algebra kan vara en bilinjär form om vektorrummet bara är sin kropp. Är det så? 

Är den här observationen överhuvutaget intfessant?