Linjär algebra: checka mina svar sant/falskt (1)

Hur har du tänkt på 23(d) och 23(e)?

d) där tycker jag... Jag ändrar mig. Jag insåg medan jag skrev. Glöm det.

e) det blir en transformation från R2 till R3. Värdemängden är colA som bara innehåller två stycken R3 vektorer, de kan inte spänna R3, alltså kan transformationen inte vara bijektiv (om det betyder samma som one to one) på R3

One-to-one innebär att den är injektiv, inte bijektiv. 

Jaha... öh ok. Ja injektiv det är den. 

Men den måste inte vara injektiv?

Nä men nu blir jag förvirrad. Nu behöver jag tänka

Den måste inte vara injektiv, men kan den vara det?

Det var därför jag frågade denna fråga och denna följdfråga. Om dimcolA=2 är den injektiv, om dimcolA=1 är den...? Inget?

Verkar jag väldigt förvirrad? Jag tror att jag är ganska förvirrad

När det gäller terminologin så gäller följande:

En funktion $f:X\to Y$ kallas för one-to-one om den är injektiv, och sägs vara en one-to-one correspondance om den är bijektiv.

Det är en sjukt olycklig terminologi, och jag kan bara beklaga å matematikämnets vägnar. Det bästa för att undvika förvirring är nog att bara lära sig vad injektiv, surjektiv och bijektiv betyder, och sedan använda de begreppen i stället.

Så, nu är frågan om det kan finnas en injektiv linjär avbildning $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$, och visst kan det det!

Och det är egentligen ganska intuitivt: $\mathbb{R}^2$ är ju ett mindre rum (har lägre dimension) än $\mathbb{R}^3$, så rimligtvis borde det gå att "injicera" eller "trycka in" $\mathbb{R}^2$ i $\mathbb{R}^3$ utan att några punkter i $\mathbb{R}^2$ behöver mappas till samma punkt.

Det enklast möjliga sättet att göra detta på är att bädda in $\mathbb{R}^2$ som $xy$-planet i $\mathbb{R}^3$, dvs. vi avbildar basvektorerna i $\mathbb{R}^2$ på följande vis:

$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}1\\0\\ 0\end{pmatrix},\qquad\qquad \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}0\\ 1\\0\end{pmatrix}\,,$

vilket i sin tur motsvarar att inbäddningen har matrisrepresentationen

$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\,.$

Är du med på denna avbildning blir injektiv?

Är du med på hur detta hänger ihop med att kolumnerna i matrisen är linjärt oberoende, och hur detta i sin tur hänger ihop med att $\dim(\mathrm{col}(A))=2$?

Kan du ge något mer exempel på en injektiv linjär avbildning $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$?

Och japp, om $A\in\mathbb{R}^{3\times 2}$ är sådan att $\dim(\mathrm{col}(A))<2$ så betyder det mycket riktigt att den motsvarande avbildningen $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ med $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ varken är injektiv eller surjektiv, eftersom den "kollapsar" definitionsmängden till en linje eller en punkt.

Ja, jag föredrar sur bi och in begreppen, men jag tror inte att jag förstår dem på riktigt, eller det kanske jag gör, jag vet inte.

Ja det är det enklaste exemplet på en injektiv transformation, och vilket annat plan som helst i R3 (som går genom origo) är också en injektin från R2 till R3? Alltså dim(col(A))=2 för att dimensionen av ett plan är 2.

Jag förstår allt till fullo, tack.