Linjär Algebra, Blockdiagonal och egenvektorer

Hej,

Har fyra frågor om följande avsnitt:

Har lite olika frågor om stycket:

1. Med "[T]_i är matrisen för restriktionen av T till U_i" menar dom att:  ${\left[T\right]}_1 =\hspace{0.17em}{\left[T\right]}_{U_1}$?

2a. Om V kan skrivas som en direkt summa: $V\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{U}_1\oplus ...\oplus U_n$ , så måste väl inte $T\left(U\right) \subseteq U$? Säg att vi har U_1 ={p_0} =  {1} och U_2 = {p_1} = {t} och att vi har Tp = t*p då är ju inte U invariant m.a.p T?

2b. Fråga 2a ställer jag på grund av följande stycke:

$$\begin{gathered} Att U_i är endimensionellt betyder att det finns en vektor \mathit{u}\ne \mathbf{0} så att \\ T\mathit{u}\in Span\left(\mathit{u}\right) dvs. att T\mathit{u} =\hspace{0.17em}\lambda \mathit{u} \end{gathered}$$

För att detta ska gälla måste väl U_i vara just invariant? (då inte det står explicit att det krävs invarianta delrum för detta så blir jag lite osäker på 2a om det kanske är så att alla delrum i en direkt summa är invarianta)

3. Är det så att i det endimensionella fallet så är det garanterat att det finns en egenvektor u, men om ett delrum i den direkta summan är tvådimensionellt så är det inte säkert att en egenvektor finns trots att det är invariant?

Om man får lov att önska så skulle kanske den som hjälper mig här kunna skriva typ sant/falskt på mina respektive frågor och om falskt, gärna hinta om vard jag misstolkar :)

Mvh,