Linjär algebra: bild och kärna av projektioner
Hej, jag gjorde en tenta, en fråga löd såhär:
En projektion P: V --> V är en linjär avbildning sådan att P(v)=P(P(v)). Visa att varje vektor i V kan uttryckas som v+w där den ena är element i kärnan och den andra i bilden.
Jag var inte så nöjd över mitt bevis. Jag använde 1) dimensionssatsen och 2) något slafsigt argument om att underrummen är disjunkta utom i 0 och därför är baserna disjunkta 3) alla vektorrum har en bas.
Jag tycker att det är det enda som behövs...
x = P(x) + x - P(x)
P(x - P(x)) = P(x) - P(P(x)) = P(x) - P(x) = 0.
Hm. Undrar om ditt bevis inte kräver att V är ändligdimensionellt? Var den restriktionen med i problemet?
Det är en grundläggande kurs i linjär algebra, ingen vet ens om att det finns oändligtdimensionella vektorrum. Jag antog det utan att skriva det. Finns nåt annat bristande?
Jag tolkar ditt bevis som ungefär följande.
dimV = dim(kerP) + dim(P(V)) (1)
kerP + P(V) = kerPP(V) dim(kerP + P(V)) = dim(kerP) + dim(P(V)) (2)
(1) och (2) ger
dim(kerP + P(V)) = dimV kerP + P(V) = V.
Det verkar korrekt, förutom att det sista steget kräver att V är ändligdimensionellt, som jag förstår det.
