4 svar
366 visningar
Johanspeed behöver inte mer hjälp
Johanspeed 226
Postad: 17 jan 2020 15:17 Redigerad: 17 jan 2020 15:19

Linjär algebra, bevisa att vektorer är linjärt oberoende

Kan någon bevisa att vektorerna i mängden P (se bilden nedan) är linjärt oberoende och spänner upp hela n. Jag har försökt själv men lyckas bara visa att ingen vektor är en multipel av någon annan vektor i mängden.

Kallaskull 692
Postad: 17 jan 2020 18:49

Go fredag!!

Haru koll på att ifall den enda lösningen till Av=0 (med A=nxn matrix) är den triviella, är colum vektorerna till A en bas för R^n? vilket vi ville vissa(med A=P).  

För att bevisa att den enda lösningen v är den triviella måste vi vissa att 1a1+a2xk+a3xk2+...+anxkn-1=0 endast har den trivella lösningen a1=a2=...=an=0.

 

1·a1+a2·xk+a3·xk2+...+an·xkn-1=0 är en polynom, detta kan vi använda.

 

Skriv om högersidan i ekvationen med en polynom av grad n-1 och noll som koefficient framför alla, alltså 1·a1+a2·xk+a3·xk2+...+an·xkn-1=x0·0+0·xk+0·xk2+...+0·xkn-1

Nu har vi två polynomer av samma grad som måste vara = varandra. Per definition måste a1=0 eftersom båda är koefficent till x0 och på samma sätt måste a2=0då de båda är koefficenter framför xk1 osv. Nu har vi vissat att den enda lösningen för v är den triviella alltså är A(=P) colum vektorer en bas för R^n

Johanspeed 226
Postad: 17 jan 2020 19:32 Redigerad: 17 jan 2020 19:39

Kalaskull skrev:

Go fredag!!

Haru koll på att ifall den enda lösningen till Av=0Av=0 (med A=nxn matrix) är den triviella, är colum vektorerna till A en bas för R^n? vilket vi ville vissa(med A=P).  

För att bevisa att den enda lösningen v är den triviella måste vi vissa att 1a1+a2xk+a3(xk)2+...+an(xk)n−1=01a1+a2xk+a3xk2+...+anxkn-1=0 endast har den trivella lösningen a1=a2=...=an=0a1=a2=...=an=0.

 

1·a1+a2·xk+a3·(xk)2+...+an·(xk)n−1=01·a1+a2·xk+a3·xk2+...+an·xkn-1=0 är en polynom, detta kan vi använda.

 

Skriv om högersidan i ekvationen med en polynom av grad n-1 och noll som koefficient framför alla, alltså 1·a1+a2·xk+a3·(xk)2+...+an·(xk)n−1=x0·0+0·(xk)+0·(xk)2+...+0·(xk)n−11·a1+a2·xk+a3·xk2+...+an·xkn-1=x0·0+0·xk+0·xk2+...+0·xkn-1

Nu har vi två polynomer av samma grad som måste vara = varandra. Per definition måste a1=0a1=0 eftersom båda är koefficent till x0x0 och på samma sätt måste a2=0a2=0då de båda är koefficenter framför (xk)1xk1 osv. Nu har vi vissat att den enda lösningen för v är den triviella alltså är A(=P) colum vektorer en bas för R^n

 

Go fredag!  

 

Du skrev:

1·a1+a2·xk+a3·xk2+...+an·xkn-1=x0·0+0·xk+0·xk2+...+0·xkn-1  

Jag förstår inte hur du från detta kan veta att varje skalär =0. Man kan ju lösa ut a1 för att få:

 

a1=-(a2·xk+...+anxk^(n-1))  , här behöver inte ak vara noll utan det finns oändligt med lösningar förutsatt att man bara betraktar en ekvation som det verkar som att du har gjort

Kallaskull 692
Postad: 17 jan 2020 22:59

Okej jag kan ha missförstod uppgiften, jag tålkade det som att alla x_n ska behandlas som variabler. Vid antagandet att det behandlas som variabler så stämmer det att polynomen 1a1·xk1a2·xk2a3·xk3a4 ...xkn-1an=0 är linjärt oberoende(linear independent, tror de är rätt på svenska men för att vara säker). Ifall vi tar exemplet 1a1·a2x·a3x2=0 kan vi så klart ta t.ex x=1 och välja a_ därefter, men i såna här sammanhang har jag förståt det som att vi måste ha a_ som håller likheten för varje värde av x, vilket bara går då a_=0. 

Asså typ 1,x,x2,...,xnär ju också en bas för vektor rummet Pn därför är det av definitvt linjärt oberende, ifall din bok har något om detta i sig ger den 100000000%  en bättre förklaring än mig.

Kan ta en annan motivation till varför polynomen är linjärt oberoende med hjälp av wronskian determinanten.(för min egen enkelhets skull kommer jag ta 1,x,x^2 och ursäkta vet inte vilket kurs du går och ifall man gör denna)

W(1,x,x2)=det1xx2012x002=1·1·2=2 när den inte är noll är de man stoppa in, i vårt fall (1,x,x^2), inte linjärt beroende.

PATENTERAMERA 5931
Postad: 18 jan 2020 02:39

Jag använder ett bevis genom motsägelse.

Antag att vektorerna i P är linjärt beroende, då kan vi finna skalärer a0, ..., an-1, där åtminstone en skalär är skild från noll, sådana att för alla k = 1, 2, ..., n

a0 + a1xk + a2(xk)2 + ... + am(xk)m = 0.

Här är m det största värde sådant att am  0. Vi har därför att 0 < m  n-1.

Det betyder att alla värden x1, ..., xn är nollställen till polynomet

j=0majxj.

Men detta är omöjligt eftersom detta polynom kan ha som mest m distinkta nollställen och m < n. Således leder antagandet att vektorerna är linjärt beroende till en motsägelse och vektorerna måste därför vara linjärt oberoende enligt ”reductio ad absurdum”.

Svara
Close