Linjär algebra, bestämning av linjens ekv. m.h.a parallellitet med ett plan och start p. nr.2

Hej, jag skulle behöva lite vägledning till följande uppgift.

Linjen L går genom punkten (1,-2,-1), är parallell med planet x+3y-z=0 samt skär linjen, (1+t,2-t,3+2t) Bestäm en ekvation för L.

Jag postade en tråd där jag fick hjälp med en liknande uppgift men då var linjen istället parallel med xy-planet vilket medgav att det på såvis gick att bestäma skärningspunkten. Men hur gör man med denna?

Dra en vektor från punkten till linjen.

Vektorn är tydligen ortogonal mot (1,3,-1).

Hjälper det?

Eftersom L1 är parallell med planet P så är avståndet mellan dessa konstant. Planet skär dessutom origo. Projicerar vektorn (1,-2,-1) på planets normalvektor (1,3,-1) och tar dess magnitud.

$u' = \frac{(1, - 2, - 1) \cdot (1, 3, - 1)}{{|1, 3, - 1|}^{2}} (1, 3, - 1) = - \frac{4}{11} (1, 3, - 1) |u'| = \frac{4}{11} \sqrt{11} = \frac{4}{\sqrt{11}}$

Avståndet mellan L1 och P är alltså $\frac{4}{\sqrt{11}}$ . Eftersom avståndet är konstant måste avståndet mellan skärningspunkten av L1 och L2 och P vara $\frac{4}{\sqrt{11}}$ . Man kan skapa en allmän projektionsvektor då L2 projiceras på P:s normal:

$v' = \frac{(1 + t, 2 - t, 3 + 2 t) \cdot (1, 3, - 1)}{{|1, 3, - 1|}^{2}} (1, 3, - 1) = \frac{4 - 4 t}{11} (1, 3, - 1) |v'| = |\frac{4 - 4 t}{11}| \sqrt{11} |v'| = \frac{4 - 4 t}{11} \sqrt{11} = \frac{4 - 4 t}{\sqrt{11}} |v'| = - \frac{4 - 4 t}{11} \sqrt{11} = \frac{4 t - 4}{\sqrt{11}} |v'| \geq 0$

Magnituden av v' representerar avståndet mellan P och L2 för godtyckliga t. Notera att termen $|\frac{4 - 4 t}{11}|$ har ett absolut belopp, vilket kommer vara viktigt här. Frågan är nu när avståndet $\frac{4}{\sqrt{11}}$ inträffar mellan L2 och P:

$|v'| = \frac{4 - 4 t}{\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}} - > t = 0 |v'| = \frac{4 t - 4}{\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}} - > t = 2$

Frågan är nu vilket t som passar uppgiften. Vi jämför v' med u' för att få rätt tal.

$t = 0 {v'}_{t = 0} = \frac{4 - 4 t}{11} (1, 3, - 1) = \frac{4}{11} (1, 3, - 1) t = 2 {v'}_{t = 2} = \frac{4 - 8}{11} (1, 3, - 1) = - \frac{4}{11} (1, 3, - 1)$

Att det finns 2 v' är naturligt eftersom L2 skär P och därmed så upprepas alla avstånd mellan L2 och P 1 gånger. För att det ska stämma med uppgiften så måste v' och u' peka åt samma håll, endast det arrangemanget behåller L1 parallellt med P. u' och v' pekar åt olika håll då t=0 därmed måste t=2.

Skärningen mellan L1 och L2 bestäms nu med t=2

$(x, y, z) = (1 + t, 2 - t, 3 + 2 t) t = 2 (x, y, z) = (3, 0, 7) L 1 : s r i k n i n g g e s a v (1, - 2, - 1) - (3, 0, 7) = (- 2, - 2, - 8) L 1 : (x, y, z) = (1, - 2, - 1) + s (- 2, - 2, - 8) ⋮ S V A R : L 1 : (x, y, z) = (1, - 2, - 1) + s (1, 1, 4) L 2 : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t (1, - 1, 2)$

Test:

$L 1 = L 2 (1 + s, - 2 + s, - 1 + 4 s) = (1 + t, 2 - t, 3 + 2 t) - > 1 + s = 1 + t - > t = s t = 2 s e n t i d i g a r e (1 + 2, - 2 + 2, - 1 + 4 * 2) = (1 + 2, 2 - 2, 3 + 2 * 2) (3, 0, 7) = (3, 0, 7) O K! ⋮ L 1 : s r i k t n i n g = (1, 1, 4) (1, 1, 4) \cdot (1, 3, - 1) = 1 + 3 - 4 = 0 O K!$

En schematisk bild:

Tack för hjälpen :D

Följande princip löser uppgiften:

Dra vektor v från punkt P till linjen L.

Ta skalärprodukt med planets normal och sätt till 0. Ger t = 2.

Linjens ekvation på vektorform är då t.ex P + s*v, där s är en parameter.

Dr. G skrev:
Följande princip löser uppgiften:
Dra vektor v från punkt P till linjen L.
Ta skalärprodukt med planets normal och sätt till 0. Ger t = 2.
Linjens ekvation på vektorform är då t.ex P + s*v, där s är en parameter.

Helt klart en mer koncis lösning!

Svara

Visa senaste svar