Linjär algebra - Bestäm ortogonal bas till ett polynomrum

Du kan ju börja med att undersöka vad <f_n|f_m> blir för två olika värden på n och m, och sedan generalisera. Du kan sedan undersöka vad <f_n|f_n> blir.

Pröva även att rita upp graferna.

Bedinsis skrev:

Du kan ju börja med att undersöka vad <f_n|f_m> blir för två olika värden på n och m, och sedan generalisera. Du kan sedan undersöka vad <f_n|f_n> blir.

Pröva även att rita upp graferna.

Gissningsvis kommer <f_n|f_m>=0 för alla n som skiljer sig från m, men det är just det jag har problem att visa. Jag ställer upp den inre produkten och sätter in n och m, men detta säger mig ingenting. Och dessutom så borde inte <f_n|f_m>=0 ge att den basen blir samma bas som vi hade innan?

Använd gärna desmos (el. dyl.) till att göra följande:

• Välj något värde på heltalet $n$ och rita grafen för $y=f_n(x)$
• Välj något annat värde på heltalet $m$ och rita grafen för $y=f_m(x)$.
• Rita grafen även för produkten $f_n(x) \cdot f_m(x)$ (Funktionerna är reella, så man behöver inte ta med komplexkonjugatet)

I graferna kommer du se att $f_n(x) \cdot f_m(x) = 0$ för alla $x \in \mathbb{R}$ ifall avståndet mellan $n$ och $m$ är större än eller lika med 2, d.v.s. ifall $|n-m| \ge 2$. Därmed är $\langle f_n \mid f_m \rangle = 0$ så länge $|n-m| \ge 2$.

Om däremot $|n - m| \le 1$, så kommer funktionerna $f_n$ och $f_m$ anta nollskilda värden på ett gemensamt intervall. T.ex. om $m = n+1$, så är $f_n(x) f_{n+1}(x) > 0$ på intervallet $(n, n+1)$. När du beräknar

$\langle f_n \mid f_{n+1} \rangle = \int_n^{n+1} (1-(t-n)) \cdot (1 - (n+1-t))\,dt$

så får du göra variabelbyte $s = t-n$, $ds = dt$ för att inse att

$\langle f_n \mid f_{n+1} \rangle = \int_0^{1} (1-s) \cdot s\,ds = 1/6$

Ett sådant variabelbyte, alltså $s=t-n$ med $ds=dt$, funkar bra även ifall man vill beräkna $\langle f_n \mid f_n \rangle$

LuMa07 skrev:

Använd gärna desmos (el. dyl.) till att göra följande:

• Välj något värde på heltalet $n$ och rita grafen för $y=f_n(x)$
• Välj något annat värde på heltalet $m$ och rita grafen för $y=f_m(x)$.
• Rita grafen även för produkten $f_n(x) \cdot f_m(x)$ (Funktionerna är reella, så man behöver inte ta med komplexkonjugatet)

I graferna kommer du se att $f_n(x) \cdot f_m(x) = 0$ för alla $x \in \mathbb{R}$ ifall avståndet mellan $n$ och $m$ är större än eller lika med 2, d.v.s. ifall $|n-m| \ge 2$. Därmed är $\langle f_n \mid f_m \rangle = 0$ så länge $|n-m| \ge 2$.

Om däremot $|n - m| \le 1$, så kommer funktionerna $f_n$ och $f_m$ anta nollskilda värden på ett gemensamt intervall. T.ex. om $m = n+1$, så är $f_n(x) f_{n+1}(x) > 0$ på intervallet $(n, n+1)$. När du beräknar

$\langle f_n \mid f_{n+1} \rangle = \int_n^{n+1} (1-(t-n)) \cdot (1 - (n+1-t))\,dt$

så får du göra variabelbyte $s = t-n$, $ds = dt$ för att inse att

$\langle f_n \mid f_{n+1} \rangle = \int_0^{1} (1-s) \cdot s\,ds = 1/6$

Ett sådant variabelbyte, alltså $s=t-n$ med $ds=dt$, funkar bra även ifall man vill beräkna $\langle f_n \mid f_n \rangle$

Tack för hjälpen! Klargjorde väldigt mycket :D

LuMa07 skrev:

Använd gärna desmos (el. dyl.) till att göra följande:

• Välj något värde på heltalet $n$ och rita grafen för $y=f_n(x)$
• Välj något annat värde på heltalet $m$ och rita grafen för $y=f_m(x)$.
• Rita grafen även för produkten $f_n(x) \cdot f_m(x)$ (Funktionerna är reella, så man behöver inte ta med komplexkonjugatet)

I graferna kommer du se att $f_n(x) \cdot f_m(x) = 0$ för alla $x \in \mathbb{R}$ ifall avståndet mellan $n$ och $m$ är större än eller lika med 2, d.v.s. ifall $|n-m| \ge 2$. Därmed är $\langle f_n \mid f_m \rangle = 0$ så länge $|n-m| \ge 2$.

Om däremot $|n - m| \le 1$, så kommer funktionerna $f_n$ och $f_m$ anta nollskilda värden på ett gemensamt intervall. T.ex. om $m = n+1$, så är $f_n(x) f_{n+1}(x) > 0$ på intervallet $(n, n+1)$. När du beräknar

$\langle f_n \mid f_{n+1} \rangle = \int_n^{n+1} (1-(t-n)) \cdot (1 - (n+1-t))\,dt$

så får du göra variabelbyte $s = t-n$, $ds = dt$ för att inse att

$\langle f_n \mid f_{n+1} \rangle = \int_0^{1} (1-s) \cdot s\,ds = 1/6$

Ett sådant variabelbyte, alltså $s=t-n$ med $ds=dt$, funkar bra även ifall man vill beräkna $\langle f_n \mid f_n \rangle$

Hur skulle man beräkna ⟨fn∣fn⟩?

Edit: Nvm löste det

Hur gör jag nu på uppgift b. Jag tänker att jag behöver normera den ortogonala basen jag fått fram, och sen ställa upp matrisen efter det, men osäker på hur jag går tillväga.

Jag har nu lyckats bestämma en ON-bas och komma fram till att matrisen kommer att vara $P=A{A}^T$, där A är matrisen med mina ON-basvektorer som kolumner. Hur uttrycker jag mina ON-bas vektorer som kolumner om dessa är polynom?

nån?