Linjär algebra- bestäm en bas

Matrisen i b) är diagonal, så du bör bestämma en bas som består av egenvektorer till T. De två första egenvektorerna skall motsvara egenvärdet 1 och den sista egenvärdet 0. Tänk lite på vad för slags avbildning T är?

PATENTERAMERA skrev:

Matrisen i b) är diagonal, så du bör bestämma en bas som består av egenvektorer till T. De två första egenvektorerna skall motsvara egenvärdet 1 och den sista egenvärdet 0. Tänk lite på vad för slags avbildning T är?

Hm jag undrar om jag ska alltså gausa avbildning T från A) med matrisen i b) och hitta egenvektorer till det?  Så om matrisen I b) är diagonal matrisen så kan man bestämma mha egenvärden egenvektorer till T?

Du kan lista ut egenvektorer och egenvärden rätt enkelt om du tänker på vad för slags avbildning T är (en projektion på ett plan). Vilka vektorer blir oförändrade vid projektionen och vilka avbildas på nollvektorn?

Annars kan du utgå från matrisen i a) och bestämma egenvärden och egenvektorer på vanligt sätt med karaktäristisk ekvation etc.

PATENTERAMERA skrev:

Du kan lista ut egenvektorer och egenvärden rätt enkelt om du tänker på vad för slags avbildning T är (en projektion på ett plan). Vilka vektorer blir oförändrade vid projektionen och vilka avbildas på nollvektorn?

Annars kan du utgå från matrisen i a) och bestämma egenvärden och egenvektorer på vanligt sätt med karaktäristisk ekvation etc.

Det är ej så enkelt att lista ut som du pratar om. Så jag tänkte istället testa med de egenvärden som b har gett oss dvs Lambda=1 och sen lambda=0 och se vilka egen vektorer vi får.

Gör så, om du tycker det blir enklare.

PATENTERAMERA skrev:

Gör så, om du tycker det blir enklare.

Jag får dock ej som facit när jag gausat denna matris och använt egenvärdet 0 . Jag får typ såhär när jag sätter y=t och får då t=(1/2 1 0) medan facit får (-2 1 0). Kan det möjligtvis vara så att de har fått fel?

Planets normal är $(1,2,2)$ i standardbasen så egenvektorn till egenvärdet 0 måste vara parallell med den vektorn.

Ett exempel på en sådan vektor är $(1/2,1,1)$ vilket varken du eller facit fått.

D4NIEL skrev:

Planets normal är $(1,2,2)$ i standardbasen så egenvektorn till egenvärdet 0 måste vara parallell med den vektorn.

Ett exempel på en sådan vektor är $(1/2,1,1)$ vilket varken du eller facit fått.

Hm jag vet ej hur man kommer fram till vektor som är parallell med normalen i standardbasen? Jag satte in egenvärdet 0 i standardmatrisen i a) uppgiften som jag fick och sen gausa och kom fram till det jag kom fram till. Det funkade så när jag stoppade in egenvärdet 1 i matrisen också och fick då rätt vektor.

Så här fick jag

PATENTERAMERA skrev:

Så här fick jag

Rätt svar enligt facit är (-2,1,0) och (0,-1,1)

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Så här fick jag

Rätt svar enligt facit är (-2,1,0) och (0,-1,1)

Det är nog egenvektorer svarande mot egenvärde 1 och inte egenvärde 0. Du kan ju kolla själv.

Egenvektorerna i egenvärdesrummet till egenvärde 1 (dvs de som ligger i det tvådimensionella planet) är naturligtvis inte unika, vilken (linjärt oberoende) uppsättning som helst från planet duger.

T.ex. är $(-2, 0, 1)$ och $(-2, 1, 0)$ också två linjärt oberoende egenvektorer i planet.

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Så här fick jag

Rätt svar enligt facit är (-2,1,0) och (0,-1,1)

Det är nog egenvektorer svarande mot egenvärde 1 och inte egenvärde 0. Du kan ju kolla själv.

Hm nu förstår jag ej riktigt här. Har vi ej egenvärde 1 och 0 här eller har jag missuppfattat? Var egenvektor (0,-1,1) kommer ifrån vet jag och det är från egenvärde 1. Men jag har ingen aning var egenvektor (-2,1,0) kommer ifrån samt vilken egenvärde den svarar mot? Jag misstänker att den svarar mot egenvärde 0,men jag får tyvärr ej (-2,1,0) utan (1/2,1,0) är vad jag får.

Vektorn $(-2,1,0)$ ligger i planet och hör därmed till egenvärde 1.

D4NIEL skrev:

Vektorn $(-2,1,0)$ ligger i planet och hör därmed till egenvärde 1.

Jag får (0,-1,1) med egenvärde 1  och (1/2,1,0) med egenvärde 0.  Hat räknat med 1/9 hela tiden i gausning så jag fattar ej varför jag ej får som er.

8/9 - $\lambda$ = 8/9 - 1 = -1/9 $\ne$ 1/9.

PATENTERAMERA skrev:

8/9 - $\lambda$ = 8/9 - 1 = -1/9 $\ne$ 1/9.

Yes jag får -1/9. Råkade skriva 1/9

Vad får du om du räknar om?

PATENTERAMERA skrev:

Precis jag får samma faktiskt.  Dock undrar jag om man kan svara med både (-2 1 0) och (-2 0 1)? Det gör ej facit.

Du behöver svara med tre vektorer.

Två linjärt oberoende egenvektorer svarande mot egenvärdet 1. Tex [-2 1 0]^T och [-2 0 1]^T.

En egenvektor svarande mot egenvärdet 0. Tex [1 2 2]^T.

PATENTERAMERA skrev:

Du behöver svara med tre vektorer.

Två linjärt oberoende egenvektorer svarande mot egenvärdet 1. Tex [-2 1 0]^T och [-2 0 1]^T.

En egenvektor svarande mot egenvärdet 0. Tex [1 2 2]^T.

Okej jag har för mig facit svarade med (0-1,1) med egenvärde 0.  Du skrev (122)^T?

Nej, [0 -1 1] är en egenvektor svarande mot egenvärde 1. Uppfyller ekvationen x + 2y + 2z = 0.

Alla egenvektorer svarande mot egenvärde 0 är på formen t[1 2 2] (t $\ne$ 0), som vi visat.

PATENTERAMERA skrev:

Nej, [0 -1 1] är en egenvektor svarande mot egenvärde 1. Uppfyller ekvationen x + 2y + 2z = 0.

Alla egenvektorer svarande mot egenvärde 0 är på formen t[1 2 2] (t $\ne$ 0), som vi visat.

Ah okej då förstår jag. Märkligt att de svarade iaf med den där [0,-1,1] och hur de kom fram till det. för jag hade nog bara svarat med 3 vektorer som vi fick nu.