Linjär algebra. Bestäm den punkt på ett plan som ligger närmast en annan.
Vilken punkt på planet 3x+2y+12z=5 ligger närmast punkten (4,5,9)?
Tror jag löste den genom att använda partiella derivator som visat nedan
3x+2y+12z=5 ⇔ x=5/3-2/3y-12/3z
sätt
x=5/3-2/3t-12/3s
y=t s,t ∈ ℝ
z=s
Skriv som vektor
(x,y,z)= (5/3-2/3t-12/3s,t,s), s,t ∈ ℝ
Avståndet mellan punkterna är då |(5/3-2/3t-12/3s,t,s)-(4,5,9)|
Detta avstånd som funktion av s och t ges då av
f(t,s)=(((5/3-4)-2/3t-12/3s)^2+(t-5)^2+(s-9)^2)^(1/2), s,t ∈ ℝ
För vilka värden på s och t antar f sitt minimum? Det ska då finnas värden på s och så att ∂f/∂s=0 och ∂f/∂t=0, dvs ekvationssystemet
∂/∂s (((5/3-4)-2/3t-12/3s)^2+(t-5)^2+(s-9)^2)^(1/2) = 0
∂/∂t (((5/3-4)-2/3t-12/3s)^2+(t-5)^2+(s-9)^2)^(1/2) = 0
Satte in i wolframalpha då det tar för lång tid att lösa för hand men svaret blev
s=-87/157 och t=535/157
insättning i funktionen ger minimunavståndet:
f(535/157,-87/157)=125/(157)^0.5
Satte också in f(t,s) i wolframalpha för att säkerställa att det var ett globalt minimum annars kan man använda funktionen nedan som jag hittade online för att avgöra karaktären av en stationär punkt:
G(t,s)=(∂^2f/∂t^2)(∂^2f/∂s^2)-(∂^2f/∂t∂s)
där om G(535/157,-87/157) > 0 och om ∂^2f(535/157,-87/157)/∂t^2 > 0 så är det ett globalt minimum.
Finns det något bättre sätt att lösa det på givet att lösningen är korrekt?
Det ser ut att stämma, men är kanske lite krångligare än det sedvanliga tillvägagångssättet. Ditt sätt fungerar dock även om vi hade haft en krökt yta istället för ett plan.
I en linjär algebra-kurs brukar man resonera ungefär så här:
Låt . Välj en punkt som vi vet ligger i planet, säg och beräkna vektorn mellan dem. Vi söker nu punkten som har kortast avstånd till punkten .
Vi konstaterar att vektorn måste vara vinkelrät mot planet om avståndet skall minimeras. Därför kan vi uttrycka den som projektionen av på normalvektorn :
Punkten ges sedan enligt .
