Linjär algebra - Bestäm den punkt/linje/plan som avbildningen grundar sig på

Hej till alla Er som läser!

Jag har fastnat på en uppgift och skulle behöva hjälp/råd med vad jag behöver göra.
Vad behöver jag räkna ut, ta reda på ? Vad innebär "Låt avbildningsmatrisen S verka på vektorerna...", är det enkel matrismultiplikation som gäller då (a*S, b*S, c*S) ? Punkten/linjen/planet har sitt ursprung i origo?

Uppgiften beskrivs längst ner på sidan.

Vektorerna a, b, c och V :
a = [ 0 0 1 ]
b = [ 0 2 0 ]
c = [ 3 0 0 ]
V = [ 6 1 4 ]

Låt avbildningsmatrisen S verka på vektorerna a, b, c.
S = I − (2 / V^TV) * VV^Tdär I är en identitetsmatris med storleken 3 × 3.

Uppgift: Bestäm den punkt/linje/plan som avbildningen grundar sig på. Rita ut punkten/linjen/planet i samma figur som vektorerna med start i origo.

Med Matriser spelar ordningen roll

Det är tänkt att du ska undersöka $S\mathbf{a}$ , $S\mathbf{b}$ och $S\mathbf{c}$ .

$V^TV=||V||^2$

Låt $V$ vara $\mathbf{n}$ och läs igenom den här tråden:

www.pluggakuten.se/trad/standard-matris-linjar-algebra/

Kan du hitta några likheter med din formel?

Jroth skrev:
Med Matriser spelar ordningen roll
Det är tänkt att du ska undersöka $S\mathbf{a}$ , $S\mathbf{b}$ och $S\mathbf{c}$ .
$V^TV=||V||^2$
Låt $V$ vara $\mathbf{n}$ och läs igenom den här tråden:
www.pluggakuten.se/trad/standard-matris-linjar-algebra/
Kan du hitta några likheter med din formel?

Tack för svar!

Jag har, bara för en minut sedan, lyckats räknat ut att S = [ 0 0 -1; 0 1 0; -1 0 0 ].
Jag ska läsa igenom länken du skickade!

Jroth skrev:
Kan du hitta några likheter med din formel?

Visst ser jag en likhet mellan min formel och projektionsformeln. Fast i mitt fall är punkten P = I och normalen n * P = 1, för att 2:an ska stå ensam som täljare? Jag vet dock inte vad detta betyder :/

Eftersom $(P\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}=(\mathbf{n}\cdot P)\mathbf{n}=\mathbf{n}(\mathbf{n}^TP)=(\mathbf{n} \mathbf{n}^T)P$

Så blir det

$P^{'}=(I-2\frac{\mathbf{n} \mathbf{n}^T}{||\mathbf{n}||^2})P=SP$

Dvs S är bara en spegling i planet med normalen $\mathbf{n}$ , jmfr med ditt uttryck där man använder V istället.

Sen förstår jag inte riktigt hur du fick $S$ till [ 0 0 -1; 0 1 0; -1 0 0 ]?

Jroth skrev:
Eftersom $(P\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}=(\mathbf{n}\cdot P)\mathbf{n}=\mathbf{n}(\mathbf{n}^TP)=(\mathbf{n} \mathbf{n}^T)P$
Så blir det
$P^{'}=(I-2\frac{\mathbf{n} \mathbf{n}^T}{||\mathbf{n}||^2})P=SP$
Dvs S är bara en spegling i planet med normalen $\mathbf{n}$ , jmfr med ditt uttryck där man använder V istället.
Sen förstår jag inte riktigt hur du fick $S$ till [ 0 0 -1; 0 1 0; -1 0 0 ]?

Tror vi kan ignorera min uträkning av S, provade ett program som beräknade det.

Men om jag skulle skriva om ditt inlägg med V istället för n:

(VV^T)P = V(V^TP) = (V * P)V = (P * V)V

Är normalen V ? Dvs planet är 6x + 1y + 4z = 0 ?

Ja, det stämmer, men jag tycker att du ska beräkna S samt reflektionen av punkterna a,b,c.

Kanske har ni också lärt er att determinanten av en spegling $S$ ska vara -1 osv. Alltså ett enkelt sätt att kolla att man räknat rätt :)

Svara

Visa senaste svar