Linjär Algebra, baser

För vektorrummet R^3 är ju till exempel enhetsvektorerna $e_{1}, e_{2}, e,_{3}$ en bas.

Men vad är en bas för, exempelvis, funktionsrummet: $C^{\infty} (ℝ) = {A l l a o ä n d l i g t d e r i v e r b a r a f u n k t i o n e r p å ℝ}$

Från wikipedia fattar jag det som att rummet av de reellvärda funktioner som kan skrivas som en Taylorserie har en bas i form av alla potenser $x^{n}$ där n är ett heltal.

Det hänger jag med på men har svårt att tänka ut någon bas för mitt exempel. För det finns väl oändligt deriverbara funktioner som inte kan skrivas som en taylorserie?

Vektorrummen R^n är ju väldigt lätta att, rent intuitivt, förstå konceptet med baser och hur det funkar när ett set spänner upp ett rum osv. Men tycker det blir mycket svårare när man har ett vektrrum med en viss typ av funktioner.

Vänligen,

Varje vektorrum har en bas, men i ditt fall så är det troligtvis omöjligt att explicit skriva ner den. Jag kan inte särskilt mycket om analytiska funktioner, men om derivatan existerar på hela R borde de åtminstone i varje punkt ha en lokal taylorserie. Notera dock att {1,x,x^2,...} inte är en bas eftersom t ex sin(x) inte är en ändlig linjärkombination av dessa vektorer.

Okej, men t.ex dessa funktioner: $e^{x}, x e^{x}$ och $e^{2 x}$

är ju linjärt oberoende i hela R och är oändligt deriverbara, är dessa funktioner en del av basen till $C^{\infty} (ℝ)$ ?

Och hur vet jag hur många dimensioner funktionsrummet i fråga har?

En (reell) analytisk funktion är alltså en som kan skrivas som en serie av potensfunktionerna, och serien behöver konvergera överallt.

Att en funktion är analytisk är starkare än att den är slät, så för C∞(ℝ) går det inte att skriva en explicit bas.

Du kan läsa här https://www.pluggakuten.se/trad/fundering-om-tva-funktioner-ar-lika-pa-ett-intervall-ar-de-lika-overallt/

Edit: såklart är detta rum oändligtdimensionellt.

Notera dock att {1,x,x^2,...} inte är en bas eftersom t ex sin(x) inte är en ändlig linjärkombination av dessa vektorer.

Måste den va ändlig...? När jag läst om fourieranalys så sägs det att sin och cos är (ortogonala) baser för L2, och fourierserien har oändligt många termer?

Okej, då förstår jag lite bättre. Tack!

Qetsiyah skrev:
Notera dock att {1,x,x^2,...} inte är en bas eftersom t ex sin(x) inte är en ändlig linjärkombination av dessa vektorer.
Måste den va ändlig...? När jag läst om fourieranalys så sägs det att sin och cos är (ortogonala) baser för L2, och fourierserien har oändligt många termer?

Det finns olika typer av baser. Den "vanliga"(som jag vet används i kursen Ygolopot läser) kräver att summan är ändlig. Fördelen med den är att det alltid existerar en bas. En annan bas är en Schauderbas där man tillåter summan att vara oändlig, den finns inte alltid. Speciellt finns ingen Schauderbas för mängden av reellanalytiska funktioner. Notera att man måste ha ett Banachrum för att kunna definiera en schauderbas(hur ska man annars tolka den oändliga summan?).

Ygolopot skrev:
Okej, men t.ex dessa funktioner: $e^{x}, x e^{x}$ och $e^{2 x}$
är ju linjärt oberoende i hela R och är oändligt deriverbara, är dessa funktioner en del av basen till $C^{\infty} (ℝ)$ ?
Och hur vet jag hur många dimensioner funktionsrummet i fråga har?

Eftersom de är linjärt oberoende kan du skapa en bas där de finns med(De är linjärt oberoende i vektorrumet, inte i R). Att bevisa att detta funktionsrummet är oändligtdimensionellt är inte så lätt , se tex här.

Jaha... intressant! Detta måste jag läsa mer om.

Den "vanliga" basen är altså Hamel-basen?

Svara

Visa senaste svar