Linjär algebra - basbyten

Har följande uppgift som jag behöver hjälp med:

e=(e1 e2 e3) är en högerorienterad ON-bas i rummet. Man inför en ny ON-bas f=(f1 f2 f3) enligt följande:

a) f1 har samma riktning som e1+e2+2e3
b) f2 ligger i det plan som spänns upp av e1 och e3 och som har positiv e1-koordinat.
c)(f1 f2 f3) är högerorienterad.

Antag att vektorn v har koordinatmatris Ve=(v1 v2 v3)^t i basen e. Bestäm dess koordinater i basen f.

Jag antar att man ska använda sig av formeln Vf=P^-1*Ve och problemet blir då att hitta P^-1. Förstår att det är meningen att man ska använda sig av ledtrådarna för (f1 f2 f3) för att finna P och sedan P^-1, men vet inte hur?

Tack på förhand!! :)

Börja med att bestämma koordinatvektorn för $f_1, f_2, f_3$ .

a) För att bestämma $f_1$ s koordinatvektor så normerar du bara $(1\, 1\, 2)$ .

b) Här vet du att $f_2 = a e_1 + b e_3$ och att $f_2$ är ortogonal mot $f_1$ , samt normaliserad. Så du har att

$a^2 + b^2 = 1$

$1\cdot a + 2\cdot b = 0$

Samt att $a > 0$ , vilket gör att du kan bestämma koordinatvektorn för $f_2$ .

c) Här behöver du bara använda att $f_3 = f_1 \times f_2$ .

Sedan när du bestämt att dessa så kan du bestämma P, men tänk på att detta då är en ortonormal matris vilket innebär att $P^{-1} = P^t$ , så du behöver inte räkna ihjäl dig.

Svara