Linjär Algebra, basbyte vid linjär avbildning

Notera att [_]_e definierar en linjär avbildning, dvs

[x+y]_e = [x]_e+[y]_e

[ax]_e = a[x]_e.

Så tex [e₂-e₃]_e=[e₂]_e-[e₃]_e=$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$=…

Ah tack! Har haft lite problem att förstå när man opererar i olika baser och notationen.

Jag har nog bara missat i boken men hur är ${\left[\right]}_{*}$en linjär avbildning (eller var hittar man def)? Detta gör saken klart enklare och då man letar efter en basvektor i samma bas så behöver (antar jag) jag inte veta värdet på basvektorerna då ex

${\left[e_3\right]}_e={\left[{e^{\text{'}}}_3\right]}_{e^{\text{'}}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

För att exempelvis vektorn e3 i basen e skrivs som

$e_3=0*e_1+0*e_2+1*e_3$

(ursäkta om jag ä övertydlig ;))

Precis. Om vi har en bas e1, e2, e3 så kan varje vektor x skrivas som en unik linjärkombination. Dvs x = a1e1 + a2e2 + a3e3, där a1, a2 och a3 är unika skalärer (som beror av x).

Vi kan se [_]_e som avbildningen

x = a1e1 + a2e2 + a3e3 $\mapsto$$\left[\begin{array}{c}a1\\ a2\\ a3\end{array}\right]$.

Så det är en linjär avbildning då man stoppar in  värden för a1, a2 och a3 (3 variabler?) och ut ur "funktionen (avbildningen)"  ges en vektor? (och att de följer reglerna för linjäritet) så att

$F(a_1,a_2,a_3)=x$

eller tvärtom?

Ja, det som du beskriver är inversen till [_]_e.

$\left[\begin{array}{c}a1\\ a2\\ a3\end{array}\right]\mapsto a1e1+a2e2+a3e3=x$.

Men blanda inte i hop detta med avbildningen F i uppgiften, det är något annat.

OK, Tack för hjälpen! :D. Nej då, skulle använt en annan  beteckning :)