Linjär algebra: Basbyte och en massa krångel

Det här är den sista uppgiften i kapitlet, så den är kryddad.

Vektorn $ê_{1}$ har koordinaterna (1, 3) med avseende på basen $e_{1}, e_{2}$ . Man vill välja vektorn $ê_{2}$ så att $ê_{1}, ê_{2}$ blir en bas och så att den vektor, som har koordinaterna (a, -2) med avseende på basen $e_{1}, e_{2}$ får koordinaterna (2, -1) med avseende på basen $ê_{1}, ê_{2}$ . Undersök för vilka värden på a som detta är möjligt. Bestäm också för varje sådant a koordinaterna för $ê_{2}$ med avseende på $e_{1}, e_{2}$ .

$ê_{1} = e_{1} + 3 e_{2} ê_{2} = x e_{1} + y e_{2}$

Jag tror det blir något fel i nästa steg, för lösningen räcker inte hela vägen fram när jag går tillbaka hit:

$k (e_{1} + 3 e_{2}) \neq x e_{1} + y e_{2}$

För att vara en bas måste denna olikhet gälla. Den gäller om minst en av dessa gäller:

$k \neq x k \neq y / 3$

Går vidare:

$a e_{1} - 2 e_{2} = 2 ê_{1} - ê_{2} a e_{1} - 2 e_{2} = 2 (e_{1} + 3 e_{2}) - x e_{1} - y e_{2} a e_{1} - 2 e_{2} = 2 e_{1} + 6 e_{2} - x e_{1} - y e_{2} e_{1} (a) + e_{2} (- 2) = e_{1} (2 - x) + e_{2} (6 - y) x = 2 - a y = 8 ê_{2} = (2 - a, 8)$

Nu kommer vi då till vad a inte får vara. Enligt facit får det bara inte vara -2/3. Jag ser att detta hänger ihop med mina olikheter, eftersom

$2 - (- \frac{2}{3}) = \frac{8}{3} = \frac{y}{3}$

Men, det känns som om den andra olikheten, att $k \neq x$ , är bortglömd. Och jag vet inte ens hur det skulle behöva se ut för att jag inte skulle uppleva det så.

Om vi slutar med olikheten:

$k = x k = y / 3 x = y / 3$

Det är om detta gäller som ê1, ê2 inte är en bas. Och detta gäller bara om a = -2/3. Stämmer allt mitt tänk?

Du har fått fram att

${\hat{e}}_{1} = (1, 3)$

${\hat{e}}_{2} = (2 - a, 8)$ ,

med koordinater relativt ursprungsbasen.

Vektorerna utgör inte en bas endast i det fall att de är parallella. Dvs om

k(1, 3) = (2-a, 8), för något k.

k = 2-a

3k = 8,

vilket ger att a = -2/3.

Således är vektorerna en bas i alla fall då a är skilt från -2/3, precis som du säger.

Svara