Linjär algebra basbyte koordinater

Precis, ett annat sätt att tänka är att du vill hitta transformationsmatrisen A med element [a b ; c d] som transformerar vektorerna. Du har uttryck matrisekvationen för den inversa transformen, dvs dina element a,b,c,d kommer beskriva transformen från den nya basen till den gamla.

Calle_K skrev:

Precis, ett annat sätt att tänka är att du vill hitta transformationsmatrisen A med element [a b ; c d] som transformerar vektorerna. Du har uttryck matrisekvationen för den inversa transformen, dvs dina element a,b,c,d kommer beskriva transformen från den nya basen till den gamla.

Jag fick denna transformation matris men jag vet ej vad jag ska svara på?

Du tänker lite fel.

x_i i den nya basen kommer enbart bero på x_i i den gamla basen, och transformationsmatrisen. Därav kommer t.ex inte x_1 vara en linjärkombination av både x_1 och x_2, utan enbart av x_1. (Ursäkta om jag var otydlig i mitt första svar).

Du vill bestämma transformationsmatrisen A sådan att Ax=y där x är en vektor i gamla basen och y är samma vektor i nya basen. Notera att ekvationerna för x_1 och x_2 är helt separata och har ingenting med varandra att göra. Anledningen till att vi får 2 givna vektorer är så att vi entydigt kan bestämma transformationsmatrisen.

Bestäm nu A genom att ansätta [a b ; c d]*x_1=x^_1 (och motsvarande för x_2). Detta kommer ge dig totalt 4 ekvationer (2 ekvationer med vektorer av dimension 2 i varje) och 4 obekanta, alltså lösbart.

När du slutligen bestämt transformationsmatrisen A är det bara att multiplicera denna med den sista givna vektorn för att få den vektorn i den nya basen.

Calle_K skrev:

Du tänker lite fel.

x_i i den nya basen kommer enbart bero på x_i i den gamla basen, och transformationsmatrisen. Därav kommer t.ex inte x_1 vara en linjärkombination av både x_1 och x_2, utan enbart av x_1. (Ursäkta om jag var otydlig i mitt första svar).

Du vill bestämma transformationsmatrisen A sådan att Ax=y där x är en vektor i gamla basen och y är samma vektor i nya basen. Notera att ekvationerna för x_1 och x_2 är helt separata och har ingenting med varandra att göra. Anledningen till att vi får 2 givna vektorer är så att vi entydigt kan bestämma transformationsmatrisen.

Bestäm nu A genom att ansätta [a b ; c d]*x_1=x^_1 (och motsvarande för x_2). Detta kommer ge dig totalt 4 ekvationer (2 ekvationer med vektorer av dimension 2 i varje) och 4 obekanta, alltså lösbart.

När du slutligen bestämt transformationsmatrisen A är det bara att multiplicera denna med den sista givna vektorn för att få den vektorn i den nya basen.

Jag förstår ej nu. Kan vi ta detta stegvis? Jag hänger ej med på hur jag ska börja och var kommunikationen har gått fel.  

Har tyvärr inte tid att vara aktiv här mycket mer ikväll, men kan försöka summera.

• Du vill bestämma en transformationsmatris A som transformerar vilken vektor som helst från den gamla basen till den nya basen.
• Denna transformationsmatris kommer vara unik. 
• Transformationsmatrisen funkar alltså så att vilken vektor som helst v i den nya basen kan skrivas som Au=v där u är samma vektor i gamla basen.
• När vi bestämt A, kan vi enkelt transformera den eftersökta vektorn x=(3,-1) från den gamla till den nya basen genom att helt enkelt multiplicera med A från vänster.
• Notera att om vi vill transformera en vektor v i den nya basen tillbaka till den gamla basen kan vi helt enkelt ta
  A^-1v = u (Detta samband fås genom att multiplicera med A^-1 från vänster i ekvationen i punkt 3).

Då vill vi helt enkelt bestämma A, hur gör vi det?

• Jo, vi låter A vara den generiska matrisen A = [a b ; c d].
• Därefter ansätter vi Ax_1 = x(hatt)_1 och Ax_2 = x(hatt)_2, där x_1, x(hatt)_1 är samma vektor i gamla resp. nya basen och x_2, x(hatt)_2 är samma vektor i gamla resp. nya basen. Alla dessa 4 vektorer är givna.
• Vi får 4 ekvationer och 4 obekanta --> Lös ut a, b, c, och d. Då får du din transformationsmatris A.

Tillägg: 25 nov 2023 22:13

Här kan du läsa på mer om detta.

Basbyte - Wikipedia

Linjära transformationer - Youtube

Calle_K skrev:

Har tyvärr inte tid att vara aktiv här mycket mer ikväll, men kan försöka summera.

• Du vill bestämma en transformationsmatris A som transformerar vilken vektor som helst från den gamla basen till den nya basen.
• Denna transformationsmatris kommer vara unik. 
• Transformationsmatrisen funkar alltså så att vilken vektor som helst v i den nya basen kan skrivas som Au=v där u är samma vektor i gamla basen.
• När vi bestämt A, kan vi enkelt transformera den eftersökta vektorn x=(3,-1) från den gamla till den nya basen genom att helt enkelt multiplicera med A från vänster.
• Notera att om vi vill transformera en vektor v i den nya basen tillbaka till den gamla basen kan vi helt enkelt ta
  A^-1v = u (Detta samband fås genom att multiplicera med A^-1 från vänster i ekvationen i punkt 3).

 

Då vill vi helt enkelt bestämma A, hur gör vi det?

• Jo, vi låter A vara den generiska matrisen A = [a b ; c d].
• Därefter ansätter vi Ax_1 = x(hatt)_1 och Ax_2 = x(hatt)_2, där x_1, x(hatt)_1 är samma vektor i gamla resp. nya basen och x_2, x(hatt)_2 är samma vektor i gamla resp. nya basen. Alla dessa 4 vektorer är givna.
• Vi får 4 ekvationer och 4 obekanta --> Lös ut a, b, c, och d. Då får du din transformationsmatris A.

---

Tillägg: 25 nov 2023 22:13

Här kan du läsa på mer om detta.

Basbyte - Wikipedia

Linjära transformationer - Youtube

detta är transformation A. Nu ska jag multiplicera den matrisen vektorn (3,-1)? För  jag får denna vektor (3 2) som facit ej godkänner.

Låt P vara basbytesmatrisen från den gamla basen till den nya basen. 

Det skall då gälla att P$\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$ och P$\left[\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$.

Vi kan sammanfatta detta i en enda matrisekvation.

$P\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]=$$\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ 3& 1\end{array}\right]$.

Vilket ger

P = $\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ 3& 1\end{array}\right]$${\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]}^{-1}$.

PATENTERAMERA skrev:

Låt P vara basbytesmatrisen från den gamla basen till den nya basen. 

Det skall då gälla att P$\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$ och P$\left[\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$.

Vi kan sammanfatta detta i en enda matrisekvation.

$P\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]=$$\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ 3& 1\end{array}\right]$.

Vilket ger

P = $\left[\begin{array}{cc}0& 4\\ 3& 1\end{array}\right]$${\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]}^{-1}$.

Ah okej då förstår jag. P är alltså en matris där kolonner är x1 och x2 och transformerar dem till xhatt_1 och x_hatt2?

Ja, P är en vanlig basbytesmatris, som du säkert stött på förut.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, P är en vanlig basbytesmatris, som du säkert stött på förut.

Ah okej då förstår jag. Jo men det var verkligen längesen alltså ett år sedan så jag behöver verkligen repetera detta pga all glömska.