Linjär algebra - Basbyte

Basbyten blir lätt bara en massa matrisprodukter och det kan kännas oklart om den första eller den sista matrisen skulle vara inverterad, etc.

Matrisen för F har basvektorerna som kolonner. 

Om du nu vill byta bas så ska matrisen för F i den nya basen ha de nya basvektorerna, uttryckta i den nya basen, som kolonner.

Du kan börja med att avbilda de primade nya basvektorerna i den oprimade basen. Du får då de primade basvektorernas bilder som en linjärkombination av de oprimade basvektorerna. 

Sedan ska du uttrycka bilderna av de primade basvektorern som en linjärkombination av de primade basvektorena, genom att invertera sambandet 

e1´=2e1+3e2+e3

e2´=3e1+4e2+e3

e3´=e1+2e2+2e3

Det ger dig bilderna av de primade basvektorern i den primade basen, vilket ger dig kolonnerna till F i den nya basen. 

Annars kan man ju stoppa in allt i en fin formel för basbyten, men jag brukar efter ett tag glömma bort hur den är. 

Dr. G skrev:

Basbyten blir lätt bara en massa matrisprodukter och det kan kännas oklart om den första eller den sista matrisen skulle vara inverterad, etc.

Matrisen för F har basvektorerna som kolonner. 

Om du nu vill byta bas så ska matrisen för F i den nya basen ha de nya basvektorerna, uttryckta i den nya basen, som kolonner.

Du kan börja med att avbilda de primade nya basvektorerna i den oprimade basen. Du får då de primade basvektorernas bilder som en linjärkombination av de oprimade basvektorerna. 

Sedan ska du uttrycka bilderna av de primade basvektorern som en linjärkombination av de primade basvektorena, genom att invertera sambandet 

e1´=2e1+3e2+e3

e2´=3e1+4e2+e3

e3´=e1+2e2+2e3

Det ger dig bilderna av de primade basvektorern i den primade basen, vilket ger dig kolonnerna till F i den nya basen. 

Annars kan man ju stoppa in allt i en fin formel för basbyten, men jag brukar efter ett tag glömma bort hur den är. 

Tack för hjälpen, men jag har ovanligt svårt att förstå precis vilka räkningar jag ska utföra. Hade deu kunnat visa konkret hur man löser uppgiften?

Standardmetoden är att ta fram matrisen för basbyte från oprimad till primad bas, samt dess invers (från primad till oprimad). 

Hur ser de matriserna ut?

Dr. G skrev:

Standardmetoden är att ta fram matrisen för basbyte från oprimad till primad bas, samt dess invers (från primad till oprimad). 

Hur ser de matriserna ut?

Som sagt, jag är lost för tillfället.

Men, jag har väl matrisen T=$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 3& 4& 2\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$. Men vad jag ska göra med den och den givna matrisen i uppgiften vet jag inte, behöver jag räkna ut en invers? Jag ska ju gå från oprimad till primad...

Uppföljning: Jag har nu löst uppgiften efter lite mer ordentlig läsning och känner mig såhär i efterhand väldigt dum, tack ändå för hjälpen Dr. G.

Känn dig inte dum!

Det är mycket att hålla reda på. Jag blir glad när basbytesuppgifter dyker upp här så att jag får repetera detta. 

Kan också räkna igenom lösningsmetoden ovan. ' betecknar transponat, så (2,3,1)' är en kulumnvektor i standardbasen. Hakparentes får beteckna den primade basen, så den första basvektorn där är [1,0,0]'

Avbildning av de nya basvektorerna uttryckta i standardbasen blir

F*(2,3,1)' = (2,3,1)'

F*(3,4,1)' = (6,8,2)'

F*(1,2,2)' = (3,6,6)'

Nu ska de uttryckas i den primade basen, vilket gör att de måste multipliceras med inverstransformen. Här kan man dock notera att 

(2,3,1)' = [1,0,0]'

(6,8,2)' = [0,2,0]'

(3,6,6)' = [0,0,3]'

vilket gör att F i den primade basen är diagonal med 1, 2 respektive 3 på diagonalen. 

Det ger samma svar som med standardmetoden, 

$F' = T^{-1}FT$

som jag lät wolfram räkna ut. 

EDIT: rättade slarvfel