Linjär Algebra, bas för polynomfunktioner

Hej,

Har ett vektorrum av polynom av högst grad 3 där vi har följande:

$V = S p a n {f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}}$ ,

$f_{0} = 1 + t, f_{1} = 1 - t, f_{2} = t + t^{2} + t^{3}, f_{3} = 1 + t + t^{2} + t^{3}$

Vi ska skriva en bas för V och bestämma dimV och då tänker jag spontant att basen B är:

$B = {1, t, t^{2}, t^{3}}$

Men i facit skriver dom: ${1, t, t^{2} + t^{3}}$

Både mitt förslag och facit spänner väl V? Men då vi ska bestämma dimV och dimensionen för ett ändligtdimensionellt rum är antalet element i basen så stämmer väl inte mitt svar?

Jag ser ju att t^2 och t^3 alltid kommer att ha samma koefficient när vi skriver en linjär kombination av f_0, .., f_3 är det därför dom skriver så som dom gör i facit?

Vänligen

Nu när jag tänker efter här så spänner ju min bas mer än V så det blir nog fel. Så tror jag fattat nu :)

Den bas du anger $\{1,t,t^2,t^3\}$ är standardbasen. Du kan uttrycka vektorerna $\{f_0,f_1,f_2, f_3\}$ med hjälp av standardbasen så här

$f_0=[1,1,0,0]$

$f_1=[1,-1,0,0]$

$f_2=[0,1,1,1]$

$f_3=[1,1,1,1]$

Radrummet (rummet som spänns av raderna) är oförändrat under elementära radoperationer. Om vi låter raderna bestå av vektorerna $f_0,\dots ,f_3$ och Gausseliminerar måste det resulterande systemet av rader fortfarande spänna V.

$\begin{bmatrix}1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}\xrightarrow{\sim}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

Vi ser att $\mathrm{dim}(V)=3$ samt att raderna 1-3 bildar en bas, dvs $\{1,t, t^2+t^3\}$ bildar en bas för V.

Aha!!! Hehe, nu fattar jag. Tack snälla för svaret, det var riktigt bra! :)

Svara

Visa senaste svar