Linjär Algebra - Bas för ColA och RowA

I detta fall är de två första raderna i A en bas för radrummet. Men det behöver inte alltid bli så.

Lemma. Om vi har ett antal vektorer v₁, …, v_n, så påverkas inte det linjära spannet om vi byter ut vektor v_i mot v_i + av_j (i $\ne$ j) eller om vi byter v_i till bv_i (b $\ne$ 0). Bevis. Lämnas som övning.

Sats. Radrummet på en matris påverkas inte av att vi utför elementära radoperationer på matrisen. Bevis. Direkt följd av lemmat.

När vi genom elementära radoperationer får en matris A på radreducerad normalform R så ligger de rader som är noll  längst ned i matrisen R och de rader som inte är noll är linjärt oberoende och utgör därför, enligt vad som sagts ovan, en bas för radrummet.

Låt oss anta att vi i stället för matrisen A har en matris där i stället rad 2 och 4 i A ligger högst upp, de raderna kan inte utgöra en bas eftersom de är linjärt beroende. När du radreducerar får du återigen en matris där de två första raderna är linjärt oberoende och övriga är noll, så det är klart att man inte kan dra slutsatsen att de två första raderna i ursprungsmatrisen är en bas bara för att det två första raderna i den radreducerade matrisen är en bas.

En intressantare fråga är varför kolonnerna behåller sina inbördes förhållanden under elementära radoperationer, dvs varför man efter utförd reduktion kan dra slutsatser om hur de ursprungliga kolonnerna förhåller sig till varandra baserat på den reducerade matrisen.

I din bok har du säkert en härledning, men försök själv först!

PATENTERAMERA skrev:

I detta fall är de två första raderna i A en bas för radrummet. Men det behöver inte alltid bli så.

Lemma. Om vi har ett antal vektorer v₁, …, v_n, så påverkas inte det linjära spannet om vi byter ut vektor v_i mot v_i + av_j (i $\ne$ j) eller om vi byter v_i till bv_i (b $\ne$ 0). Bevis. Lämnas som övning.

Sats. Radrummet på en matris påverkas inte av att vi utför elementära radoperationer på matrisen. Bevis. Direkt följd av lemmat.

När vi genom elementära radoperationer får en matris A på radreducerad normalform R så ligger de rader som är noll  längst ned i matrisen R och de rader som inte är noll är linjärt oberoende och utgör därför, enligt vad som sagts ovan, en bas för radrummet.

Låt oss anta att vi i stället för matrisen A har en matris där i stället rad 2 och 4 i A ligger högst upp, de raderna kan inte utgöra en bas eftersom de är linjärt beroende. När du radreducerar får du återigen en matris där de två första raderna är linjärt oberoende och övriga är noll, så det är klart att man inte kan dra slutsatsen att de två första raderna i ursprungsmatrisen är en bas bara för att det två första raderna i den radreducerade matrisen är en bas.

Hmm jag hänger fortfarande inte riktigt med på varför man inte kan utgå från ursprungsmatrisen för Row(A).

För Col(A) reducerar man matrisen för att se vilka kolonner som inte kan skrivas som en linjär kombination och dessa blir basen.

För Row(A) borde det väl vara samma sak fast för raderna?

Låt oss säga att du har en matris A med fyra rader och att radrummet har dimension 2.

Är du med på att matrisens två första rader kan vara linjärt beroende, och alltså inte en bas för radrummet? En bas består alltid av linjärt oberoende vektorer.

Är du med på att när du radreducerat till normalform så är de två första raderna linjärt oberoende och de två sista raderna noll? Som jag visade så är radrummet fortfarande det samma som för ursprungsmatrisen A så de två första raderna i den reducerade matrisen är en bas för radrummet till A.

Således är det ett felslut att anta att de två första raderna i A är en bas bara för att de två första raderna i den radreducerade matrisen är en bas.

Observera att om du gör radoperationer på en matris så kommer du vanligen att förändra kolonnrummet, så kolonnerna i den radreducerade matrisen spänner vanligen inte upp kolonnrummet till ursprungsmatrisen A. Dock är det så att de kolonner i A som motsvarar kolonnerna med ledande ettor i den radreducerade matrisen utgör en bas för kolonnrummet till A. Se D4NIELs kommentar i #3.

Är du med på att matrisens två första rader kan vara linjärt beroende, och alltså inte en bas för radrummet? En bas består alltid av linjärt oberoende vektorer.

Är du med på att när du radreducerat till normalform så är de två första raderna linjärt oberoende och de två sista raderna noll?

Jag är med på detta.

Som jag visade så är radrummet fortfarande det samma som för ursprungsmatrisen A så de två första raderna i den reducerade matrisen är en bas för radrummet till A.

Således är det ett felslut att anta att de två första raderna i A är en bas bara för att de två första raderna i den radreducerade matrisen är en bas.

Jag är däremot inte med på detta. Om radrummet är samma för ursprungsmatrisen som den reducerade matrisen, varför är det fel att anta att de två första raderna i ursprungsmatrisen är en bas, om radrummet inte förändras?

D4NIEL skrev:

En intressantare fråga är varför kolonnerna behåller sina inbördes förhållanden under elementära radoperationer, dvs varför man efter utförd reduktion kan dra slutsatser om hur de ursprungliga kolonnerna förhåller sig till varandra baserat på den reducerade matrisen.

I din bok har du säkert en härledning, men försök själv först!

Hmm, alltså när man utför radoperationer på en matris, då är det enda man egentligen gör att skriva om som linjär kombinationer? 

Luffy skrev:

Är du med på att matrisens två första rader kan vara linjärt beroende, och alltså inte en bas för radrummet? En bas består alltid av linjärt oberoende vektorer.

Är du med på att när du radreducerat till normalform så är de två första raderna linjärt oberoende och de två sista raderna noll?

Jag är med på detta.

Som jag visade så är radrummet fortfarande det samma som för ursprungsmatrisen A så de två första raderna i den reducerade matrisen är en bas för radrummet till A.

Således är det ett felslut att anta att de två första raderna i A är en bas bara för att de två första raderna i den radreducerade matrisen är en bas.

Jag är däremot inte med på detta. Om radrummet är samma för ursprungsmatrisen som den reducerade matrisen, varför är det fel att anta att de två första raderna i ursprungsmatrisen är en bas, om radrummet inte förändras?

Därför att vi visat att det finns situationer då antagandet inte stämmer.

Säg att du börjar med 

A = $\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right]$.

Den radreducerade normalformen ges då av

R = $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$.

Om radrummet har dimensionen 2 så kommer alltid de två första raderna i den radreducerade matrisen vara linjärt oberoende och således en bas för radrummet. Som vi bevisat har A och R samma radrum.

Som du ser så är de två första raderna i A inte en bas för radrummet till A.

Man kan således inte anta att de två första raderna i A är en bas bara för att de två första raderna i den radreducerade matrisen är en bas. Vi har här ett exempel som motsäger ett sådant antagande.

Om du vill tänka på kolonnerna nu så är det bra att känna till att om vi har en matris A och dess radreducerade normalform R så finns det en inverterbar matris E sådan att EA = R.