Linjär algebra - avbildningsmatriser

Jag skulle satsa på att göra ett ortonormalt basbyte. Man ser att vektorn (1 1 0)^t måste vara en egenvektor till avbildningen, så detta får vara en av baserna (men normerad).

Sedan låter man (1, -1, 0)^t, vara en annan basvektor (men normerad). Sedan låter man den tredje vektorn vara $(1, 1, 0)\times (1, -1, 0) = (0, 0, -2)$ och normerar den.

Så vi kan göra basbytet som ges av basbytes matrisen

$P=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

Så i denna bas så ska vi bara rotera det i planet som spänns upp av de två sista kolumnerna i P. Denna matris ges då av

$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (\mathrm{\pi }/4)& -\sin (\mathrm{\pi }/4)\\ 0& \sin (\mathrm{\pi }/4)& \cos (\mathrm{\pi }/4)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$

Så man behöver nu beräkna

$A = P B P^{t}$

och resultatet är att A är den sökta avbildningsmatrisen.

Tack så mycket för svar! Tror jag förstår nu :)

Hur vet du hur man ska bestämma B? 
syftar på:
"Så i denna bas så ska vi bara rotera det i planet som spänns upp av de två sista kolumnerna i P. Denna matris ges då av"

Hur läser man av att vi ska rotera det i planet som spänns upp av de två sista kolumnerna?? 

B kan man väl bestämma för att man vet att avbildningen är en vridning pi/4 och man har valt ny bas m.h.a linjens riktningsvektor. Det är ju kring linjen som vridningen sker och därför avbildas den första basvektorn på sig själv och de andra påverkas av vridningen pi/4 => matrisen B (jämför med vridning kring x-axeln). Lite dåligt förklarat men hoppas det gav något..? 

Det jag inte riktigt förstår dock är hur man kan se att vektorn (1 1 0)^t måste vara en egenvektor till avbildningen?