Linjär Algebra, avbildningsmatrisen - enkel fråga

Att göra som du började först är nog det enklaste i detta problem.

Jag gissar att du använde radoperationer när du Gaussar. Om du i stället använder kolonnoperationer så får du rätt svar.

Om du är obekväm med kolonnoperationer så börja med att transponera båda matriserna i din startuppställning. Gaussa sedan med radoperationer. Transponera sedan den högra matrisen efter att du Gaussat klart. Se nedan.

tack som tusan! Riktigt bra hjälp, schysst. 

Men varför måste man göra kolonnoperationer och varför fungerar inte radoperationer?

Hur ska man veta ifall man ska göra rad eller kolonnoperation? Varför måste man transponera den. Vad är intutionen det till?

Den sökta matrisen ges egentligen av

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right]$ ${\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]}^{-1}$.

När du gör radoperationer på det sätt som du gjorde först så räknar du egentligen ut

${\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]}^{-1}$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right]$.

Om vi i stället transponerar våra matriser så kommer radoperationerna att beräkna

${\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]}^{-T}$ ${\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right]}^T$ = ${\left(\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]}^{-1}\right)}^T$, dvs transponatet av den sökta matrisen.

Hmm okej wow, tack!

Fattar matematiken nu, men har inte så mycket intution/förtsåelse bakom, varför egentligen den sökta matrisen ges av... det första uttrycket du skriver osv! :D

Sätt A = $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& 0& 1\end{array}\right]$ och P = $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$.

Först lite notation. Om $\overrightarrow{v}$ är en vektor i ${\mathrm{ℝ}}^3$och X en bas för ${\mathrm{ℝ}}^3$så betecknar ${\left[\overrightarrow{v}\right]}_X$ en kolonnvektor vars komponenter utgörs av koordinaterna för vektorn $\overrightarrow{v}$ relativt basen X.

Låt E beteckna standardbasen och låt B beteckna en bas bestående av vektorerna (1, 0, 1), (1, 1, 1) och (0, 1, 1).

Med avbildningen F:s matris i standardbasen menar man en matris M sådan att, för alla $\overrightarrow{v}\in {\mathrm{ℝ}}^3$,

${\left[F\left(\overrightarrow{v}\right)\right]}_E=M{\left[\overrightarrow{v}\right]}_E$ (1).

Det går att visa att det alltid existerar en sådan matris och att den är unik. Se valfri lärobok i linjär algebra.

Matrisen P ger ett samband mellan en vektors koordinater i standardbasen E och basen B. Med lite eftertanke så inser man att det gäller att

P${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B={\left[\overrightarrow{v}\right]}_E$  (2). 

Vi kan invertera uttrycket (2) genom att multiplicera båda led med P^-1 från vänster och erhåller då

${\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$=P^-1${\left[\overrightarrow{v}\right]}_E$ (3).

Matrisen A är också en slags avbildingsmatris till avbildingen F, men om man tänker efter så ser man att följande gäller

${\left[F\left(\overrightarrow{v}\right)\right]}_E=A{\left[\overrightarrow{v}\right]}_B$  (4).

Vi kan nu sätta in (3) i (4) och erhåller

${\left[F\left(\overrightarrow{v}\right)\right]}_E=A{P}^{-1}{\left[\overrightarrow{v}\right]}_E$  (5).

Om vi jämför (5) och (1) så inser vi att det måste gälla att

M = AP^-1   (6).

Så vi söker , som sagts, efter matrisen AP^-1.

Alright, tror jag är med lite på tänket, men blir mycket notation, och mindre "geometrisk" förståelse för vad som händer. Uppskattar verkligen svaret, hoppas folk som googlar på denna fråga i framtiden får mycket hjälp av dina svar utöver bara jag!

Jag tänkte spontant att:

Om jag sätter kolonn = kolonn att jag därför måste göra kolonnoperationer istället för radoperationer eller är det fel tänk?

Alla läroböcker använder olika notation. Jag försökte förklara min notation så gott jag kunde. Hoppas det inte blev för svårt att följa, om detta skiljer sig från hur er lärobok beskriver det.

Speciellt tycker jag att du skall gå igenom formlerna (2) och (4) så att du verkligen förstår varför det blir som det blir.

Om vi skriver två matriser P och A på partitionerad form [P|A] och sedan utför radoperationer tills den vänstra matrisen blivit enhetsmatrisen så kommer vi få [I|P^-1A]. Om vi i stället gör kolonnoperationer så kommer vi få [I|AP^-1]. I vårt fall var vi ute efter AP^-1. Vi kunde sedan utnyttja tricket med transponering föra att kunna använda radoperationer i alla fall.

Tack för svar :D Uppskattas

Går det att fatta utan formler? Och notation? Eller är det omöjligt?

Hej igen @patenteramera.

Svarar i samma tråd för det är kontexten av frågan. Men en annan lite liknande fråga 3b nedan:

Här går det ju utmärkt att på b) sätta upp följande och använda radoperationer för att gaussa sig fram en lösning, varför fungerar radoperationer här, men inte på den förra frågan vi diskuterade?

Det är olika problem, så varför skulle de inte kräva olika angreppssätt?

I detta problem blir det svårt att använda något annat än radoperationer, eftersom den vänstra matrisen har fyra kolonner men den högra bara en, så det blir i allmänhet omöjligt att utföra samma kolonnoperation på båda matriserna. Tex kan du byta plats på två kolonner i den vänstra, men det är ju omöjligt i den matris som bara har en kolonn. Radoperationer fungerar dock alltid.