Linjär algebra, avbildningsmatris
uppgiften: En linjär avbildning i R^3 är sådan att [1 0 1]^t avbildas på [0 2 0]^t och varje vektor i planet x+y+z=0 är en egenvektor med egenvärde 1. Bestäm avbildningsmatrisen i standardbasen.
Jag tänker att att man ska att man ska använda sig av sambandet . Men får fel basbytesmatris när jag försöker... Vet inte riktigt hur jag ska tänka. Några förslag på vad som man ska tänka på vid sådana här avbildningar?
Välj en två vektorer i planet, t.ex [1, 0, -1] och [1, -1, 0]. Hur avbildas dessa? Om du via dessa bilder och bilden av [1, 0, 1] kan få fram bilderna av [1, 0, 0], [0, 1, 0] och [0, 0, 1] så är du i princip hemma.
Tänker att de avbildas som och att de två vektorerna tillsammans med vektorn [1, 0, 1] som avbildas på samma sätt, bildar basbytesmatrisen P? och sen ta fram inversen till basbytesmatrisen? tänker jag rätt?..
Någon invers verkar onödig att dra in här.
Hur blir bilden av [1, 0, 0]?
(Tänk på att
[2, 0, 0] = [1, 0, -1] + [1, 0, 1]
Du vet hur varje vektor i HL avbildas och avbildningen är linjär.)
Har testat en del nu men vet inte hur jag ska göra. Har väldigt svårt för det här kapitlet med avbildningar...
Har du ytterligare någon vägledning som du kan ge
Har du tänkt på vad ordet "linjär" i linjär avbildning betyder?
Det betyder att avbildningen av en summa är summan av avbildningarna:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Multiplikation med skalär (a) kan flyttas ut:
T(a*u) = a*T(u)
I ditt fall är då
T([1, 0, 0]) = T([2, 0, 0])/2 = T([1, 0, -1])/2+ T([1, 0, 1])/2
Hej!
Jag sitter med precis samma problem(6 år senare) men jag har så svårt med detta matematiska språk att jag ej förstår vad man är ute efter.
Vad menar man med att (1 0 1) avbildas på (0 2 0), vad ska jag göra med denna information?
Jag förstår att jag söker A_e mha P*A_f*P^-1 men jag har svårt att förstå vart jag ska börja??!
Jag kan ha en ON-matris, ok, således slippa inversen och arbeta med transponatet. Men om jag inte känner till hur något avbildas kan jag ju inte bestämma A_f?
Innebär egenvärde = 1 att allt avbildas som sig självt?
Hej!
Att (1 0 1)^t avbildas på (0 2 0)^t betyder att (0 2 0)^t = A(1 0 1)^t, där A är avbildingsmatrisen.
Om x är en egenvektor till A med egenvärde k så är Ax = kx. Om en egenvektor x har egenvärdet 1 så avbildas den på sig själv. Vi får också veta i uppgiften att alla vektorer i planet x + y + z = 0 har egenvärde 1, så vi vet vad avbildningen är för alla vektorer som ligger i det planet.
För att hitta avbildningsmatrisen i standardbasen vill du veta hur vektorerna (1 0 0), (0 1 0) och (0 0 1) avbildas. Om du hittar linjärkombinationer av vektorer där du känner till avbildingen som blir någon av basvektorerna (tex (1 0 1) + (1 0 -1) = (1 0 0)) så kan du räkna ut avbildningen för denna basvektor eftersom A(u + v) = Au + Av för en linjär avbildning.
